涂填法，张广铭：一维量子自接链中拓扑有序点的物理描 玻色子占据数的Fok空间 四06066660 (at)s+m(af)s-r S,m)= +mj-m州 (260)间3808008088 若取5=1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。实际上，Schwinger玻色子表示的思 (e) 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这 一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 子玻色统计来完成的， 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作 (27) 其中品格的任登配位数（每个格点且有的近邻格占 数)为z,整数M=2S/2.很显然，每个格点上自旋S的 图3.一缘和两维品格中的几种VBS态。 决 在哪些配位数的品格】 造出VBS老 维 子自旋链的情形中配位数为 2则 在这一系列AKT模型 有M=S.在一维和两维品格中的几种VBS态如图3所 ，尤其重要的是一维自 不安布风各件的不安的资色 旋链中的S=1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任章两个近邻格点间的总 HKT=J∑P=2i+ 自旋总有S7≤(2S-M),因而它总是投影到两近邻 格点总自2S-M+1)<S<2S的自旋算符的 -=号∑ss+1+3ss+P+33 思能量木征本。从而，这 一性质即可得到VBS态对应 的AKLT哈密顿量2网 这个模型中除了标准的海森堡（双线性）相互作用项 不m上了 个双一次相石伦用项。可以证明该模型 HAKLT= Jsr Psr(ij) (28) S基态波函数中自旋-自旋两 其中所有s,>0,Ps,(，)是将两近邻格点的自旋投 (32) 影到总自旋为Sr的通道上的投影算符。利用S:·S,= (S+S,P-S(S+1),结合投影算符的完备性条 其中关联长度=1/m3,如果用VBS波函数作为自 件∑oPs(信，)=1，可以得到 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。因此，自悔为1的A紅T相 ∑吃+)-5+, 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所 的性质， 以认为这个模型中 相互 (29 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 作用相比可 函数 供 可以写成如下自旋-自旋交换相互作用S:·S的25阶 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 多项式形式 对于S>1的一准AKLT整数自旋链模型，VBS被 S:.S:+S(S+1)-S(S+1)函数依然是一个对于理解Haldanei能相非常右用 P(位，)= Sr(r+1)-5(S'+1) 的物理图像，Aro (30 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋-自旋两 1994-2019Ch Publish All rights reserved http:/www.cnki.ne 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 7 玻色子占据数的Fock空间 |S, mi = (a † ↑ ) S+m(a † ↓ ) S−m p (S + m)!(S − m)! |vi (26) 若取S = 1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。 实际上，Schwinger玻色子表示的思 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 予玻色统计来完成的。 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作[22] |VBSi = Y hiji (a † i,↑ a † j,↓ − a † i,↓ a † j,↑ ) M |vi (27) 其中晶格的任意配位数(每个格点具有的近邻格点 数)为z，整数M = 2S/z。很显然，每个格点上自旋S的 大小决定了在哪些配位数的晶格上能构造出VBS态， 例如在一维量子自旋链的情形中配位数为z = 2，则 有M = S。在一维和两维晶格中的几种VBS态如图3所 示。 在周期性边界条件的晶格上，VBS态还具有平移 不变和SU(2)自旋空间旋转不变的特征，因而它是一 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任意两个近邻格点间的总 自旋总有ST ≤ (2S − M)，因而它总是投影到两近邻 格点总自旋(2S − M + 1) ≤ ST ≤ 2S的自旋算符的 零能量本征态。从而，这一性质即可得到VBS态对应 的AKLT哈密顿量[8,22] HAKLT = X hiji X 2S ST =2S−M+1 JST PST (i, j) (28) 其中所有JST > 0，PST (i, j)是将两近邻格点的自旋投 影到总自旋为ST的通道上的投影算符。利用Si · Sj = 1 2 (Si + Sj ) 2 − S(S + 1)， 结合投影算符的完备性条 件 P2S ST =0 PST (i, j) = 1，可以得到 (Si · Sj ) n = X 2S ST =0 [ 1 2 ST (ST + 1) − S(S + 1)]nPST (i, j) (29) 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 可以写成如下自旋–自旋交换相互作用 Si · Sj的2S阶 多项式形式 PST (i, j) = Y 2S S0=0,S06=ST Si · Sj + S(S + 1) − 1 2 S 0 (S 0 + 1) 1 2 ST (ST + 1) − 1 2 S0(S0 + 1) (30) *,+ *-+ *.+ */+ 图 3. 一维和两维晶格中的几种VBS态。 在这一系列AKLT模型中，尤其重要的是一维自 旋链中的S = 1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 HAKLT = J X N i=1 PST =2(i, i + 1) = J 2 X N i=1 [Si · Si+1 + 1 3 (Si · Si+1) 2 + 2 3 ](31) 这个模型中除了标准的海森堡（双线性）相互作用项， 还加上了一个双二次相互作用项。 可以证明，该模型 具有有限能隙，并且其VBS基态波函数中自旋–自旋两 点关联函数在长距离下呈指数形式衰减 hSi · Sj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (32) 其中关联长度ξ = 1/ ln 3。如果用VBS波函数作为自 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。 因此，自旋为1的AKLT模 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所预言的性质， 从而可以认为这个模型中的双二次相互作用跟海森堡 相互作用相比可以看作微扰，并且VBS波函数提供的 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 对于S > 1的一维AKLT整数自旋链模型，VBS波 函数依然是一个对于理解Haldane能隙相非常有用 的物理图像， Arovas，Auerbach和Haldane[22]利用自 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋–自旋两