数学归纳法原理的基础是自然数集为良序集 定理1.3假设MN*,如果1∈M,且当n-l∈M时,可推 出n∈M,则M=N*。 证反证法:设M=N*\M≠⑧,则1gM,由于McN*,所 以M必有最小数a∈M于是a>1,a-1∈M,即a-1∈M,如此由 定理假设又得a∈M,这与agM矛盾。故M=⑦,即M=N* 因此,要证明一个命题对所有自然数成立,只需证明:(1)命题 对n=1成立;(2)若命题对k-1成立,则命题对k也成立。这就是 通常的数学归纳法。 第二数学归纳法原理 设P(n)是与自然数N*有关的一个命题,如果 (1)P(n)对n=1成 (2)假设P(n)对任意的n<k成立,则P(n)对n=k也成立 那末命题P(n)对一切自然数n都成立。 证设命题P(n)对N*的非空子集M不成立,令M的最小数为 a,由条件(1)知a≠1,而且a-jM(=1,2,…,a-1),因此根据假设, 命题P(n)对小于a的一切自然数都成立,于是由条件(2)知,命题 对a成立,这与a∈M(即命题对a不成立)矛盾。故命题对一切自 然数都成立。 1-5运算与映射 个数的运算:乘方,开方,倒数,对数和三角函数; 两个数的运算+,-,x,÷,最大公因数(a,b),最小公倍数[ab], 平均值(a+b)2,最大值max(a,b),最小值min(a,b)等,都是由 一个或两个数按一定规则确定另一个数(一元运算或二元运算)。 集Ⅹ的子集A∩B,A∪B是幂集P(X)中的“运算”。 定义1.12设X,Y,Z都是非空集,定义在X,Y上取值于Z的 二元运算“。”是一个法则,指:Wx∈X和vy∈Y都有唯一的z∈Z 与之对应,记作xoy=z。如果X=Y=Z,则称这个二元运算为X上 的一个代数运算,或说X上的二元运算是封闭的 定义1.13设X,Y是非空集,定义在X上取值于Y的一元运 算σ是一个法则,它使Ⅹ中每个元素a都有Y中唯一确定的元 素β与之对应。这个一元运算σ也称为集合X到Y的一个映射, 记作 →>Y, 并称β为a在σ下的象,a为β在σ下的一个原象,记作 σ:aP>β,或σ(a)=β. 称X为σ的定义域,并把ⅹ中全体元素在σ下的象的集合称为 σ的值域,或称σ的象,记作σ(X)或Imσ,即 (X)={o(a)a∈X}数学归纳法原理的基础是自然数集为良序集. 定理 1.3 假设 MN*，如果 1M，且当 n−1M 时，可推 出 nM，则 M=N*。 证 反证法：设 M#= N* \ M   ，则 1 M#，由于 M#N*, 所 以 M#必有最小数 a M,于是 a  1, a−1 M#，即 a−1M，如此由 定理假设又得 a M，这与 a M 矛盾。故 M#= ，即 M = N*。 因此，要证明一个命题对所有自然数成立，只需证明：(1)命题 对 n=1 成立；(2)若命题对 k −1 成立，则命题对 k 也成立。这就是 通常的数学归纳法。 第二数学归纳法原理 设 P(n)是与自然数 N*有关的一个命题，如果: (1) P(n)对 n=1 成立； (2) 假设 P(n)对任意的 n  k 成立，则 P(n)对 n = k 也成立， 那末命题 P(n)对一切自然数 n 都成立。 证 设命题 P(n)对 N*的非空子集 M 不成立，令 M 的最小数为 a，由条件(1)知 a 1,而且 a − j M (j=1, 2,, a−1)，因此根据假设， 命题 P(n)对小于 a 的一切自然数都成立，于是由条件(2)知，命题 对 a 成立，这与 a M(即命题对 a 不成立)矛盾。故命题对一切自 然数都成立。 1-5 运 算 与 映 射 一个数的运算：乘方，开方, 倒数，对数和三角函数； 两个数的运算+，−, ,  , 最大公因数(a,b) , 最小公倍数 [a,b] , 平均值 (a+b)/2 , 最大值 max(a, b ) , 最小值 min(a ,b ) 等，都是由 一个或两个数按一定规则确定另一个数（一元运算或二元运算）。 集 X 的子集 A B, A B 是幂集 P(X)中的“运算”。 定义 1.12 设 X, Y, Z 都是非空集，定义在 X, Y 上取值于 Z 的 二元运算“。”是一个法则， 指： xX 和yY 都有唯一的 zZ 与之对应，记作 xy = z。如果 X=Y=Z，则称这个二元运算为 X 上 的一个代数运算，或说 X 上的二元运算是封闭的。 定义 1.13 设 X, Y 是非空集，定义在 X 上取值于 Y 的一元运 算  是一个法则, 它使 X 中每个元素  都有 Y 中唯一确定的元 素  与之对应。这个一元运算  也称为集合 X 到 Y 的一个映射， 记作  : X→ Y, 并称  为  在  下的象， 为  在  下的一个原象，记作 ： , 或  () = . 称 X 为  的定义域，并把 X 中全体元素在  下的象的集合称为  的值域，或称 的象，记作 (X) 或 Im，即  (X) = { ()X}