奥赛园地(第9期解答) 1.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形 ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD是等腰三角形 ∵∠BCD=∠A=40°,∠CBD=∠ABC=60°,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线 (2)分三种情况讨论 ①当AD=CD时,如解图①,∠ACD=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°; ②当AD=AC时,如解图②,∠ACD=∠AOC=180°-48°6 2 △BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=66°+48°=114°; ③当AC=CD时,如解图③,∠ADC=∠A=48 ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48° ∠A=∠ADC>∠BCD,故此情况不存在,舍去.综上,∠ACB=96°或114° 图① 图③ 第1题解图 (3)由已知得AC=AD=2, △BCD∽△BAC, BA BC AC 即BC2=BABD 设BD=x,则BA=AD+BD=2+x,∴(V2)2=x(2+x) 解得x=-1V3,∵x>0,∴x=5-1, CD BD 2.解:(1)GH、DG;√2 【解法提示】由折叠的性质可得: DG=HG,GH=CH,∴:DG=GH=CH设HC=x,∴DG=GH=x,∵∠DGH=90°,∴:DH=VEx,∴DC=DH+CH =Vx+x=1,解得x=2-1,∴an∠ HBCs HC VE2-=-1 (2)∵BC=1,EC=BF BE=√EC+BC v6 由折叠的性质可得BP=BC=1,∠FMM=∠BNM=90°,∠EMN=∠CMN=90° 四边形BCEF是矩形,∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°,∴四边形BCMN是矩形,∠BMM=∠F=90°, BP ∴MN∥EF,BE=BF即BPBF=BEBN,又:在Rt△BFE中, F2+EF2 √2 ∴1 BN,∴BN= BC: BN=1 ∴四边形BCMN是3矩形 【解法提示】同理可得 将√3矩形沿用(2)中的方式操作1次后,得到一个“√4矩形”, 将√4矩形沿用(2)中的方式操作1次后,得到一个“√5矩形”, 将√5矩形沿用(2)中的方式操作1次后,得到一个“√6矩形”, 所以将图②中的√矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“6矩形”奥赛园地（第 9 期解答） 1. 解：（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝ 1 2 ∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 是等腰三角形． ∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△BCD∽△BAC，∴CD 是△ABC 的完美分割线； （2）分三种情况讨论： ①当 AD＝CD 时，如解图①，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA ，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当 AD＝AC 时，如解图②，∠ACD＝∠ADC＝ 180°－48° 2 ＝66°. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝66°＋48°＝114°； ③当 AC＝CD 时，如解图③ ，∠ADC＝∠A＝48°. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°. ∵∠A＝∠ADC>∠BCD，故此情况不存在，舍去．综上，∠ACB＝96°或 114°； 第 1 题解图 （3）由已知得 AC＝AD＝2， ∵△BCD∽△BAC，∴ BC BA＝ BD BC＝ CD AC，即 BC2＝BA·BD， 设 BD＝x，则 BA＝AD＋BD＝2＋x，∴( 2) 2＝x(2＋x)， 解得 x＝－1± 3，∵x>0，∴x＝ 3－1， ∴ CD AC＝ BD BC＝ 3－1 2 ，∴CD＝ 2（ 3－1） 2 ＝ 6－ 2. 2. 解：（1）GH、DG； 2－1. 【解法提示】由折叠的性质可得： DG＝HG，GH＝CH，∴DG＝GH＝CH.设 HC＝x，∴DG＝GH＝x，∵∠DGH＝90°，∴DH＝ 2 x，∴DC＝DH＋CH ＝ 2 x＋x＝1，解得 x＝ 2－1，∴tan∠HBC＝ HC BC＝ 2－1 1 ＝ 2－1. （2）∵BC＝1，EC＝BF＝ 2 2 ，∴BE＝ EC2＋BC2＝ 6 2 . 由折叠的性质可得 BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°. ∵四边形 BCEF 是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形 BCMN 是矩形，∠BNM＝∠F＝90°， ∴MN∥EF，∴ BP BE＝ BN BF，即 BP·BF＝BE·BN，又∵在 Rt△BFE 中， BE＝ BF2＋EF2＝ （ 2 2 ）2＋1 2＝ 3 2 ∴1× 2 2 ＝ 3 2 ·BN，∴BN＝ 1 3 ，∴BC∶BN＝1∶ 1 3 ＝ 3∶1， ∴四边形 BCMN 是 3矩形． （3）6. 【解法提示】同理可得： 将 3矩形沿用(2)中的方式操作 1 次后，得到一个“ 4矩形”， 将 4矩形沿用(2)中的方式操作 1 次后，得到一个“ 5矩形”， 将 5矩形沿用(2)中的方式操作 1 次后，得到一个“ 6矩形”， 所以将图②中的 3矩形 BCMN 沿用(2)中的方式操作 3 次后，得到一个“ 6矩形”．