李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 595 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 化.因此，若只研究SI-FLAT板形仪在稳定工作状态 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式： (对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 Gorb与Walton基于大变形理论建立了分析带有残 方向不变)的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 检测平台轧机末机架工作辊， 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响： Jiag等切研究了残余应力与局部的几何非线性对压 金属带材 电纳米线振动特性的影响，基于Hamilton原理推导出 张力辊进风口 涡流测距传感器 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 调凝器 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下Young--Laplace模型进行对比. 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 风机 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 卷取机 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调Foppl-一 口气流 von Karman方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 图2SI-FLAT板形仪检测示意图 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 Fig.2 Diagram of detection principle of SI-FLAT 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 角坐标系.如图1所示，坐标原点0在带钢一条边界 对该边值问题求解，形成描述SI-LAT板形仪振幅一 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处（近似 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 认为是线接触)的正下方，同时原点O还在带钢的中 用与自主开发 曲面上，x轴平行于带钢宽度方向，y轴平行于轧制方 1流固耦合振动分析的物理模型 向（带钢运动方向），进而xOy平面与带钢中面重合， z轴由右手定则确定.设检测区域内的带钢占据0< SI-FLAT板形仪的实物图与检测原理示意图分别 x<b,0<y<l,-h/2<z<h2,其中，b为带钢宽度， 如图1和图2所示.带有残余应力的带钢沿轧制方向 1为工作辊一带钢接触线与张力辊一带钢接触线间的距 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 离（即检测区域沿轧制方向长度），为带钢厚度：检 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 测平台位于平面z=-H-h2,其上的气泵进风口占 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 据区域-d<x<b+d,L<y<L+a,其中，d为气泵进 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 风口比带钢两侧各多出的距离（进风口沿宽度方向长 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 度为b+2),L为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 离开检测区域后最终进入卷取机.虽然带钢沿轧制方 与工作辊-带钢接触线在xOy平面的投影距离，a为 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量（轧 气泵进风口沿轧制方向长度. 制方向正应力分量)沿轧制方向几乎不变5，刀，故带 2流固耦合振动分析的数学模型 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 (振幅分布和振动频率)也应保持稳定而不随时间变 2.1流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述SI-FLAT板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述Newton流体低速运动的方程组两部分组成.在 第1节建立的三维直角坐标系中，设i、和k代表坐 标轴xy和z的单位矢量.记二维Laplace算子△=子/ ax2+子/ay2,三维Hamilton算子V=a/ari+a/ay+a/ zk,二元算子L(A,B)=8A/ax2·a2B/y2+8B/ax2· 2A/ay2-2aA/ary·aB/xy.用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调Fppl-von Karman方程组为 图1SI-FLAT板形仪 Fig.1 Photograph of SI-FLAT x02e-L(Φ，、刀 h李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式; Gorb 与 Walton［16］基于大变形理论建立了分析带有残 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响; Jiang 等［17］研究了残余应力与局部的几何非线性对压 电纳米线振动特性的影响，基于 Hamilton 原理推导出 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下 Young--Laplace 模型进行对比． 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调 Fppl-- von Kármán 方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 对该边值问题求解，形成描述 SI--FLAT 板形仪振幅-- 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 用与自主开发． 1 流固耦合振动分析的物理模型 SI--FLAT 板形仪的实物图与检测原理示意图分别 图 1 SI--FLAT 板形仪 Fig． 1 Photograph of SI--FLAT 如图 1 和图 2 所示． 带有残余应力的带钢沿轧制方向 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 离开检测区域后最终进入卷取机． 虽然带钢沿轧制方 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量( 轧 制方向正应力分量) 沿轧制方向几乎不变［5，7］，故带 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 ( 振幅分布和振动频率) 也应保持稳定而不随时间变 化． 因此，若只研究 SI--FLAT 板形仪在稳定工作状态 ( 对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 方向不变) 的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板． 图 2 SI--FLAT 板形仪检测示意图 Fig． 2 Diagram of detection principle of SI--FLAT 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 角坐标系． 如图 1 所示，坐标原点 O 在带钢一条边界 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处( 近似 认为是线接触) 的正下方，同时原点 O 还在带钢的中 曲面上，x 轴平行于带钢宽度方向，y 轴平行于轧制方 向( 带钢运动方向) ，进而 xOy 平面与带钢中面重合， z 轴由右手定则确定． 设检测区域内的带钢占据 0 ＜ x ＜ b，0 ＜ y ＜ l，－ h /2 ＜ z ＜ h /2，其中，b 为带钢宽度， l 为工作辊--带钢接触线与张力辊--带钢接触线间的距 离( 即检测区域沿轧制方向长度) ，h 为带钢厚度; 检 测平台位于平面 z = － H － h /2，其上的气泵进风口占 据区域 － d ＜ x ＜ b + d，L ＜ y ＜ L + a，其中，d 为气泵进 风口比带钢两侧各多出的距离( 进风口沿宽度方向长 度为 b + 2d) ，L 为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 与工作辊--带钢接触线在 xOy 平面的投影距离，a 为 气泵进风口沿轧制方向长度． 2 流固耦合振动分析的数学模型 2. 1 流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述 SI--FLAT 板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述 Newton 流体低速运动的方程组两部分组成． 在 第 1 节建立的三维直角坐标系中，设 i、j 和 k 代表坐 标轴 x、y 和 z 的单位矢量． 记二维 Laplace 算子 Δ =  2 / x 2 +  2 / y 2 ，三维 Hamilton 算子 Δ = / xi + / yj + / zk，二元算子 L( A，B) =  2 A / x 2 · 2 B / y 2 +  2 B / x 2 ·  2 A / y 2 － 2  2 A / x y· 2 B / x y． 用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调 Fppl--von Kármán 方程组［18］为 ρs  2 w t 2 + D h Δ2 w － L( Φ，w) － T0  2 w y 2 = · 595 ·