厦门大学高等代数教案网站P地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cr 第九章次型 §9.3正定性 本节讨论实数域武上的二次型 定义9.31设f(x1,x2,…,xn)=X7AX是实二次型 (1)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(ar )=X AX>0, 则称A为正定矩阵,称该二次型为正定二次型 (2)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(a1,a2,…,an)=XAX≥0; 且存在X0=(b1,b2,…,bn)≠0,使得XAX0=0,则称A为半正定矩阵称该二次型为半正定二 (3)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0.,都有 f(ay )=X1AX<0 则称A为负定矩阵,称该二次型为负定二次型 (4)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(a1, a2 )=XAX≤0 且存在X0=(b1,b2…,bn)≠0,使得XAX0=0,则称A为半负定矩阵,称该二次型为半负定二 次型 (5)若存在X1=(a1,a2,…,an)≠0,使得XTAX1>0,同时存在X2=(b1,b2,…,bn)≠0 使得X2AX2<0,则称A为不定矩阵,称该二次型为不定型 例1 (1)f(x1,x2…,xn)=x1+2n2+…+nx2是正定二次型; (2)f(x1,x2,…,xn)=a+2+…+x2,其中r≤n,是半正定二次型; (3)f(x1,x2,…,xn)=-1-22 x2是负定二次型 (4)f(x1,x x2,其中r≤n,是半负定二次型; (5)f(x1,x2)=x-n2是不定二次型 由此可以看出,从二次型的标准形或规范形容易判断二次型的正定性 命题9.3.1可逆线性替换不改变二次型的正定性%j23N F IP P 59.77.1.116; An gdjpkc.xmu.edu.cn z}￾ |y~ §9.3
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`s 9.3.1  f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX '+
(1)
9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = XTAX > 0, E A  u`ft, 1'+ u`a_q; (2)
9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = X TAX ≥ 0; xD X0 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0,  XT 0 AX0 = 0, E A  ℄u`ft, 1'+ ℄u`a _q; (3)
9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = XTAX < 0, E A  `ft, 1'+ `a_q; (4)
9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = XTAX ≤ 0; xD X0 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0,  XT 0 AX0 = 0, E A  ℄ `ft, 1'+ ℄ `a _q; (5) D X1 = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0,  XT 1 AX1 > 0, D X2 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0,  XT 2 AX2 < 0, E A  ^`ft, 1'+ ^`q. h 1 (1) f(x1, x2 · · · , xn) = x 2 1 + 2x 2 2 + · · · + nx2 n K '+ (2) f(x1, x2, · · · , xn) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 r , uS r ≤ n, K '+ (3) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 n 0 '+ (4) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 r , uS r ≤ n, 0 '+ (5) f(x1, x2) = x 2 1 − x 2 2  '+
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