证明设二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX经过可逆线性替换X=CY化为f(x1,x2,…,xn) XAX=Y(CAC)y.因为C可逆,所以X≠0当且仅当Y≠0.这样,二次型X7AX和二次型 YT(CrAC)Y是同型(正定,或半正定,或负定,或半负定,或不定)的二次型 定理9.31实二次型f(x1;,x2,…,xn)=XAX正定的充分必要条件是p=n; 实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX半正定的充分必要条件是p=r<n; 实二次型∫(x1,x2,…,xn)=XAX负定的充分必要条件是q=n; 实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX半负定的充分必要条件是q=r<n 实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX不定的充分必要条件是P>0且q>0 推论9.3.1设A是n阶实对称矩阵.则下列命题等价 (1)A是正定阵; (2)A的特征值全大于零; (3)A合同于n阶单位阵E; (4)存在n阶可逆阵C,使得A=CC 证明A正定的充分必要条件是p=n,而p=n指的是A在合同下的标准形是E.A合同于E就是 存在n阶可逆阵C,使得A=CEC=CC.另一方面,考虑A在正交相似下的标准形,A的特征值 全大于零的充分必要条件是p 定义9.3.2设A是n阶矩阵,A的k阶子式 aii aini 12 aiain ai? Z12 11 aik ik 称为A的一个k阶主子式 A的k阶主子式 a11a12 a1k a21a22 akk 称为A的k阶顺序主子式 定理9.3.2n阶实对称阵A是正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式全大于零 证明必要性.对于给定的k,1≤k≤n,记 BB 显然k阶顺序主子式Ak是k阶对称阵对于任意X1≠0∈R,令X Rn,则X≠0 因为A正定,从而0<XAX=(X7.0(AkB X X1AkX1.由X1的任意性,知 Ak为正定阵,所以存在k阶可逆阵C,使得Ak=CC,故 det Ak=(detC)2>0. 充分性,对n做数学归纳法 当n=1时,结论显然成立vj '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX T:[r'.B X = CY A f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX = Y T (C T AC)Y . < C [r￾8 X 6= 0 xS Y 6= 0. H3￾'+ XTAX <'+ Y T (C T AC)Y + (K ￾CK ￾C0 ￾C0 ￾C ) '+
✷ `g 9.3.1 '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX K -4K p = n; '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX K -4K p = r < n; '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX 0 -4K q = n; '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX 0 -4K q = r < n; '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX  -4K p > 0 x q > 0. oi 9.3.1  A  n O$ VI
E$boI
(1) A K I (2) A JO|? (3) A >? n O!I E; (4) D n O[rI C,  A = C T C. vj A K -4K p = n, & p = n Q A D>$ V, E. A >? E U D n O[rI C,  A = C T EC = C T C. d6+l￾Zf A DKL($ V,￾ A JO |? -4K p = n. ✷ `s 9.3.2  A  n OVI￾ A  k OW A  i1 i2 · · · ik i1 i2 · · · ik  =         ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik . . . . . . . . . aiki1 aiki2 · · · aikik          A 64 k dwxl. A  k OTW A  1 2 · · · k 1 2 · · · k  =         a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k . . . . . . . . . ak1 ak2 · · · akk          A  k dmrwxl. `g 9.3.2 n O$ I A K I-4K n 41TW |?
vj 4.
$?5  k, 1 ≤ k ≤ n, G A =  Ak B1 BT 1 B2  . &~ k O1TW Ak  k O$ I
$?: X1 6= 0 ∈ R k , e X =  X1 0  ∈ R n, E X 6= 0. < A K ￾& 0 < XT AX = (XT 1 , 0)  Ak B1 BT 1 B2   X1 0  = XT 1 AkX1. = X1 :.￾M Ak K I￾8D k O[rI C,  Ak = C T C, 6 detAk = (detC) 2 > 0. -.
$ n \28p(
 n = 1 ￾Qg&~Æ^
2