设结论对于n-1成立.考虑n阶对称阵A. 记 其中An-1是A的第n-1个顺序主子式,a∈Rn-1.因为A的顺序主子式大于零,所以An-1的所 有顺序主子式也大于零.由归纳假设,An-1是正定阵.所以An-1合同于En-1,即而存在n-1阶可逆 阵C1,使C1An-1C1=En-1.令 C (9)(a)()-( En-1 Ci 再令 En 3C2 AC2C3=CT(En-1 cTa (23)(z2=m)( En-j aCcI a 因为dtA>0,所以ann-aC1Ca>0.故A是正定阵 例2求a的取值范围,使 f(x1,x2,x3,x4)=a2+ax2+an2+x2+2x1x2+x1x3-2x2x3 为正定二次型 解由该二次型的矩阵是 1 0 0 0001 要使A为正定阵,A的顺序主子式均需大于零.考虑detA1=a>0,detA2=a2-1>0,detA 3-3a-2>0.detA=a3 2>0.解得a>2 所以当a>2时,该二次型是正定二次型 注意对于实对称阵A,若所有顺序主子式≥0,则A未必是半正定例如A=00 例3设A是R上n阶对称阵.证明:当a充分大时,aE+A正定Qg$? n − 1 Æ^
Zf n O$ I A. G A =  An−1 α α T ann  , uS An−1  A  n − 1 41TW ￾ α ∈ R n−1 . < A 1TW ? ￾8 An−1  >1TW 5?
=8pH￾ An−1 K I
8 An−1 >? En−1, F&D n − 1 O[r I C1, C T 1 An−1C1 = En−1. e C2 =  C1 O O 1  , E C T 2 AC2 =  C T 1 O O 1   An−1 α α T ann   C1 O O 1  =  En−1 C T 1 α α T C1 ann  , Ce C3 =  En−1 −C T 1 α O 1  E C T 3 C T 2 AC2C3 = C T 3  En−1 C T 1 α α T C1 ann  C3 =  En−1 O −α T C1 1   En−1 C T 1 α α T C1 ann   En−1 −C T 1 α O 1  =  En−1 O O ann − α T C1C T 1 α  . < detA > 0, 8 ann − α T C1C T 1 α > 0. 6 A K I
✷ h 2 y a zO*￾ f(x1, x2, x3, x4) = ax2 1 + ax2 2 + ax2 3 + x 2 4 + 2x1x2 + x1x3 − 2x2x3 K '+
e =1'+VI A   a 1 1 2 0 1 a −1 0 1 2 −1 a 0 0 0 0 1   . 4 A K I￾ A 1TW X/?
Zf detA1 = a > 0, detA2 = a 2 − 1 > 0, detA3 = a 3 − 3a − 2 > 0, detA = a 3 − 3a − 2 > 0. R a > 2. 8 a > 2 ￾1'+K '+
U:$?$ I A, >1TW ≥ 0, E A K
℄
A =  0 0 0 −1  . h 3  A  R  n O$ I
Lm a -￾ aE + A K
3