解:f(x)= r·r∈,x ,f(x) xcosx-sin x cos x(x-tan x) f(x)在[,]上单调下降,故x=2为极大点,x=x为极小点 M=f()=-,m=f()=-, b-a= 丌丌.2 -dx 244 性质7(定积分中值定理) 如果函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点5, 使(x=(b=a).(a≤5b积分中值公式) 证明:∵mb-a)≤f(xt≤M(b-a) f(x)dx≤M 由闭区间上连续函数的介值定理知:在区间[a,b]上至少存在一个点5 使得∫(5) f(x)lb,即[f(x)dx=f((b-a)(a≤5≤b) b-a 积分中值公式的几何解释: 在区间[a,b上至少存在一个点5,使得以区间[a,b]为底边,以曲线y=f(x)为 曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积 ∫() 例4设f(x)可导,且mf(x)=1,求lm[tsn3f(t 解:由积分中值定理知有5∈[x+21使得[“1sm3(M解： , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [   x ， 2 cos sin ( ) x x x x f x −  = 2 cos ( tan ) x x x − x = f (x) 在 ] 2 , 4 [   上单调下降, 故 4  x = 为极大点， 2  x = 为极小点, , 2 2 ) 4 (   M = f = , 2 ) 2 (   m = f = , 2 4 4     b − a = − = , 4 sin 2 2 4 2 2 4             dx x x . 2 sin 2 2 1 2 4     dx x x   性质 7（定积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在积分区间 [a,b] 上至少存在一个点  ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) . (a    b) (积分中值公式) 证明： m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −   f x dx M b a m b a  −    ( ) 1 由闭区间上连续函数的介值定理知：在区间 [a,b] 上至少存在一个点  ， 使得 ( ) , 1 ( )  − = b a f x dx b a f  即 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a).(a    b) 积分中值公式的几何解释： 在区间 [a,b] 上至少存在一个点  ，使得以区间 [a,b] 为底边，以曲线 y = f (x) 为 曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形的面积。 例 4 设 f (x) 可导，且 lim ( ) =1 →+ f x x ，求 f t dt t t x x x + →+ 2 ( ) 3 lim sin . 解：由积分中值定理知有  [x, x + 2], 使得 f t dt t t x x +2 ( ) 3 sin x y o a  b f ( )