m∑f(5Ax=f(x)t20 例1比较积分值[ex和[xx的大小 解:令∫(x)=e2-x,x∈[-2,0] f(x)>0,∴(e2-x)dtx>0 于是c<w 性质5的推论 (1)如果在区间[ab]上f(x)≤g(x),则f(x)xtsg(x)t.(a<b) 证明:∵∫(x)≤g(x),∴g(x)-f(x)≥0, g(x)-f(x)tx≥0, gx)-/()k≥0于是f(xhsg(x 性质5的推论 (2)[/(x2C(,g<b 证明:∵-|f(x)≤f(x)≤f(x) Ca.h/(=(即(x广(a 说明:|f(x)在区间[a,6]上的可积性是显然的 性质6设M及m分别是函数∫(x)在区间[ab]上的最大值及最小值,则 m(b-a)sf(x)x≤M(b-a) 证明:∵m≤f(x)≤M,|msf(x)x≤M, n(b-a)≤f(xx≤M(b-a)(此性质可用于估计积分值的大致范围) 例2估计积分 dx的值 3+sin x 解:f(x)= yx∈Dzl0 <sin x<1,1≤1≤ 3+sinx 43+Sn tx< dx≤a2x,4 3dx≤ 3+sinx 3+sinx 例3估计积分Sx的值i i n i   f x = → lim ( ) 1 0   ( ) 0.  =  b a f x dx 例 1 比较积分值 e dx x  −2 0 和 xdx  −2 0 的大小. 解：令 f (x) e x, x = − x[−2, 0]  f (x)  0, ( ) 0, 0 2  −  − e x dx x e dx x −  0 2 , 0 2 xdx −  于是 e dx x  −2 0 . 2 0 xdx  −  性质 5 的推论： （1）如果在区间 [a,b] 上 f (x)  g(x) ，则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . (a  b) 证明：  f (x)  g(x),  g(x) − f (x)  0,  [ ( ) − ( )]  0,  g x f x dx b a ( ) − ( )  0,   b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) . 性质 5 的推论： （2） f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) .(a  b) 证明：  − f (x)  f (x)  f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a    −   即 f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) . 说明：| f (x) |在区间 [a,b] 上的可积性是显然的. 性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的最大值及最小值，则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . 证明：  m  f (x)  M , ( ) ,       b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a −   −  （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x  +  0 3 3 sin 1 的值. 解： , 3 sin 1 ( ) 3 x f x + =  x[0,  ], 0 sin 1, 3  x  , 3 1 3 sin 1 4 1 3  +  x , 3 1 3 sin 1 4 1 0 0 3 0 dx dx x dx     +     . 3 sin 3 1 4 0 3     +    dx x 例 3 估计积分 dx x x  2 4 sin   的值