第一章点集拓扑 什么是拓扑学?通俗地说,当我们研究几何图形的各种性质 时,发现有一类性质,在图形被拉伸”、“扭曲”但不撕破和重迭的 过程中保持不变,不妨将图形想象为具有弹性的橡皮膜,在“ 伸”,“扭曲等变形过程中,原来不同的点仍变为不同的点(一一对 应),原来邻近的点仍变为邻近的点(连续变换),并且变形后邻近 的点是原来邻近的点的象(逆变换连续)这种变形称为“拓扑变 换”或“同胚”,能这样互相变换的图形称为“拓扑等价”的.例如, 圆周可以拓扑变换为长方形四条边组成的几何图形.将圆周切 断,打个结再粘接也是拓扑变换.然而圆周与“8”字形就不是拓 扑等价的.因为要将圆周变成“8”字形,必定将圆周上不同的两 点熔合为同一点 图1士 拓扑学就是研究图形在拓扑变换下不变性质的学科 拓扑学包括点集拓扑学、代数拓扑学等分支,点集拓扑学是 在(anx的集合论和3 rochet, Hansdorff等人工作的基础上发