第一章点集拓扑 展起来的.它起源]将集含论与函数空间的哪究结合起来的想法 点集拓扑学将几何图形看作是点的集合,而且具有某种“空间结 构”,即不是互不相关的一堆点,而是通过捆扎”使点与点之间发 生某种联系,于是导致拓扑空间的概念.在本章中,将给出拓扑空 间和连续映射的定义以及基本性质,研究在一个集合上给出拓扑 的各种方法,以及如上进一步限制的重要空间(如紧空间、连通空 间)的性质等等 点集拓扑学是数学的基础,它在微分方程、几何、概率论、函数 论与泛函分析中都有广泛的应用,其基本思想与处理方法对近代 数学产生深刻的影响 §1.1拓扑空间 1.1.1拓扑开集闭集 下面,我们将%维实欧氏空间记为R{(m,…,mn)4∈R 么=1,…。其中任意两点=(,…,与y-(,…,纠 的距离为 d(a, y)=(2(a-g) 它的基本性质可概括如下:对任意,y,z∈R,有 (D1)d(a,y)≥0,当且仅当c=时d(,g)=0, (D2)a(a,9)哪d(g, (Da)c(x,a)≤(如,y)+d(y,z) 维和2维欧氏空间分别称为实直线与欧氏平面 连续性是数学分析中的一个基本概念。在欧氏空间中,可以 利用距离来描述“邻近”的概念从而可用“8-8”方式来定义连续 性.由此很自然地可以将欧民空间的概念推广 11定义设x是一个集合如果映射以Ⅹx星→尽满足上 述性质(D2),(D2)利(D3),则称(x,d为度蚤空间,简记为x, d称为x上的度量,以(a,y)称为点a与?的距离