Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 t"(t)dt=0,n=0, 1 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理:设函数f∈Cm(R)不恒为常数,且l(0≤1≤m)阶导数f((t)有界。函数f(t)有界 且有如下的衰减 ≤C(1+|+)-°,a>m+1, 若对任意的整数,j和k,k,有双正交关系 () 则f有m阶消失矩,即 t"f(t)ldt=0,V0≤m≤m 证明:用归纳法.l=0时的证明同下面的证明一样,无需单独证。设0<l<m,并且对 任何n,n<l,tf(t)的积分为零。要证对n=l亦然 任取i,k0∈Z,在20ko处对f(t)作 Taylor展开,得 ()=∑/(2) (t-20ko)"+o(lt-2ko) 所以,对任给的e>0,存在δ>0,当t-2和k<6时,有o(t-2k)≤|t-20ko 取j>max(ji,0),则由(7)有Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 4 Z +∞ −∞ t n f(t)dt = 0, n = 0, 1, · · · , m. 我们给出一个较一般的辅助结果。 引理：设函数f ∈ C m(R)不恒为常数，且l(0 ≤ l ≤ m)阶导数f (l) (t)有界。函数 ˜f(t)有界 且有如下的衰减 ¯ ¯ ¯ ¯ ∼ f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C(1 + |t|) −α , α > m + 1, 若对任意的整数j, j0和k, k0，有双正交关系 D fj,k, ˜fj 0 ,k0 E = δj,j0 ,δk,k0. (7) 则 ˜f有m阶消失矩，即 Z +∞ −∞ t n ˜f(t)dt = 0, ∀0 ≤ n ≤ m. 证明：用归纳法.l = 0时的证明同下面的证明一样，无需单独证。设0 < l ≤ m，并且对 任何n, n < l，t n ˜f(t)的积分为零。要证对n = l亦然。 任取j0, k0 ∈ Z，在2 j0 k0处对f(t)作Taylor展开，得 f(t) = X l n=0 f (n) (2j0 k0) n! (t − 2 j0 k0) n + o( ¯ ¯t − 2 j0 k0 ¯ ¯ l ) 所以，对任给的² > 0, 存在δ > 0，当|t − 2 j0 k0| l < δ时，有o(|t − 2 j0 k0| l ) ≤ ε |t − 2 j0 k0| l 取j > max(j0, 0)，则由(7)有