宋伟超等：基于复变函数理论和DP屈服准则的并行隧道合理间距 293 (1)映射函数和平移关系.将Z,平面上隧道1的 2GR'Rd 2GRRd 外域映射到5，平面的单位圆外域，其映射函数最通用 (r-d)(R-d+rd)+(R-+rd) (8) 的形式可用Laurent表示： Tm=0. (9) Z,=0()=R,5+∑(C,)] (1) 0 式中，G-+,E, 2 2 式中N表示叠加总次数，h表示当前次数. 1.2塑性区应力 再根据坐标系平移得到的前后两对复应力函数之 1.2.1考虑中间主应力的D-P屈服准则 间的变换关系，利用Schwarz交替法对双孔圆形隧道 由于MC准则在三维空间的屈服面为不规则的 问题进行迭代求解.仅开挖隧道1时的应力函数 六角形截面的角锥体表面，在π平面上的图形为不等 9(Z)和中（Z,),其在X202Y2坐标系下分别为 角六边形，存在尖顶和棱角，给数值计算带来困难.为 p2（Z2)和中(Z2). 此，前人对其做了大量的修正回.l952年Drucker和 (2)求解多余面力及应力函数.由于隧道1的开 Prager构造了一个内切于M-C准则的六棱锥的圆锥 挖在隧道2周边产生的多余面力可以根据应力边界条 屈服面，屈服曲面光滑没有棱角，考虑了中间主应力和 件求出： f2=pa(42）+l2p2(2)+2(2). (2) 静水压力的影响，提出了D-P屈服准则m.D-P屈服 准则函数形式为 式中：2为Z,坐标系下隧道2周边点的坐标.为满足 隧道2应力边界条件必须加上反面力-∫2(2)，进一 f（I1,2)=√J2-al1-k=0. (10) 步可以解出在-f2(2)作用下只存在隧道2的解 式中，1是第一应力不变量：J2是第二应力偏量不变量. p2(Z2）和2(Z2). α和k是D一P屈服准则材料常数.按照平面应变情况 (3)坐标变换.利用坐标变换Z2=Z,-C可以求 下隧道轴向应变为零的塑性变形条件，α、k与c、w之 得Pa(Z2)和中2（Z)在X0Y,坐标系下的结果分别 间存在一定的换算关系： 为P2（Z,)和中2（Z).到这里，认为完成第1次迭代 sin@ a= (11) √5√3+sin'w 具体求解方法参考文献10,15H18] 计算结果叠加后如下式所示： k=ccoso (12) p:(Z）=p1(Z）+1（Z）, (3) √/3+sina (Z）=(Z）+2(Z). (4) 其中c和ω分别是隧道围岩的凝聚力和内摩擦角. 最后，通过式(5)和式(6)可得到围岩内任意一点 工程中常采用中间主应力系数n来表示中间主应 的应力分量： 力的影响程度，其表达式如下式： o,+o。=4Re[p(Z,)]. (5) n=-g3 (13) o-o,+2ir。=2Zp(Z,)+(Z)] 01-3 (6) 式中σ1表示最大应力，σ2表示中间应力，0，表示 式中，σ，表示径向应力，σ。表示切向应力，T。表示剪切 最小主应力 应力. 结合(10)~(13)式可得 针对并行隧道合理间距问题，只需对隧道间中心 (A-na-a)o1-(A-na+2a)g3-k=0.(14) 轴连线上的应力进行求解，得到以O1为坐标原点，隧 道1与隧道2之间中心轴连线上的应力，侧压力系数 式中，入 =3(n2-n+1). 为1的条件时，结果如下： 在围岩中，隧道断面径向应力σ。切向应力σ与 o,=2[受+优++-f+ GRR 2GR'Rrd 隧道轴向应力σ两两正交，且一般切向应力最大，径 向应力最小，隧道轴向应力为中间主应力.于是有 GRGR GRR (r-d)2-2(r-d02(R-f+d) 0p=n0e+(1-n)0p, (15) op -uo-v=0. (16) 2GRRd 2GRRd (r-d)(R-+rd)3-(R-+rd) (7) 式神会治=0可 GRR 2GR'Rrd o=2[气+c-P+e-+ 1 1.2.2应力场分析求解 如图2所示，从隧道1围岩中取出一个微元体来 GRGR GRR 分析其平衡状态： r-d+子+(r-d)2(R-++ 当隧道围岩在整体上处于合外力为零的平衡状态宋伟超等: 基于复变函数理论和 D--P 屈服准则的并行隧道合理间距 ( 1) 映射函数和平移关系． 将 Z1平面上隧道 1 的 外域映射到 ξ1平面的单位圆外域，其映射函数最通用 的形式可用 Laurent 表示: Z1 = w( ξ1 ) = Ｒ1 [ ξ1 + ∑ N h = 0 ( Ch ξ － h 1 ] ) ． ( 1) 式中 N 表示叠加总次数，h 表示当前次数． 再根据坐标系平移得到的前后两对复应力函数之 间的变换关系，利用 Schwarz 交替法对双孔圆形隧道 问题进 行 迭 代 求 解． 仅 开 挖 隧 道 1 时 的 应 力 函 数 φ11 ( Z1 ) 和 ψ11 ( Z1 ) ，其 在 X2O2Y2 坐 标 系 下 分 别 为 φ12 ( Z2 ) 和 ψ12 ( Z2 ) ． ( 2) 求解多余面力及应力函数． 由于隧道 1 的开 挖在隧道 2 周边产生的多余面力可以根据应力边界条 件求出: f12 = φ12 ( t2 ) + t2 φ' 12 ( t2 ) + ψ12 ( t2 ) ． ( 2) 式中: t2为 Z2坐标系下隧道 2 周边点的坐标． 为满足 隧道 2 应力边界条件必须加上反面力 － f12 ( t2 ) ，进一 步可 以 解 出 在 － f12 ( t2 ) 作用下只存在隧道 2 的解 φ22 ( Z2 ) 和 ψ22 ( Z2 ) ． ( 3) 坐标变换． 利用坐标变换 Z2 = Z1 － C 可以求 得 φ22 ( Z2 ) 和 ψ22 ( Z2 ) 在 X1O1Y1 坐标系下的结果分别 为 φ21 ( Z1 ) 和 ψ21 ( Z1 ) ． 到这里，认为完成第 1 次迭代． 具体求解方法参考文献［10，15--18］． 计算结果叠加后如下式所示: φ1 ( Z1 ) = φ11 ( Z1 ) + ψ21 ( Z1 ) ， ( 3) ψ1 ( Z1 ) = ψ11 ( Z1 ) + ψ21 ( Z1 ) ． ( 4) 最后，通过式( 5) 和式( 6) 可得到围岩内任意一点 的应力分量: σr + σθ = 4Ｒe［φ' 1 ( Z1) ］． ( 5) σθ － σr + 2iτθ = 2［Z1φ″ 1 ( Z1 ) + ψ' 1 ( Z1) ］． ( 6) 式中，σr 表示径向应力，σθ 表示切向应力，τθ 表示剪切 应力． 针对并行隧道合理间距问题，只需对隧道间中心 轴连线上的应力进行求解，得到以 O1 为坐标原点，隧 道 1 与隧道 2 之间中心轴连线上的应力，侧压力系数 为 1 的条件时，结果如下: σr [ = 2 G 2 + GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 ] + 2GＲ2 1Ｒ2 2 rd ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 － GＲ2 2 ( r － d) 2 － GＲ2 1 r 2 － GＲ2 1Ｒ4 2 ( r － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 － 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( r － d) ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 － 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3， ( 7) σθ [ = 2 G 2 + GＲ2 1Ｒ2 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 ] － 2GＲ2 1Ｒ2 2 rd ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 + GＲ2 2 ( r － d) 2 + GＲ2 1 r 2 + GＲ2 1Ｒ4 2 ( r － d) 2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 2 + 2GＲ2 1Ｒ4 2 d ( r － d) ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3 + 2GＲ2 1Ｒ2 2 d2 ( Ｒ2 2 － d2 + rd) 3， ( 8) τrθ = 0． ( 9) 式中，G = P1 + P2 2 ，E = P2 － P1 2 ． 1. 2 塑性区应力 1. 2. 1 考虑中间主应力的 D--P 屈服准则 由于 M--C 准则在三维空间的屈服面为不规则的 六角形截面的角锥体表面，在 π 平面上的图形为不等 角六边形，存在尖顶和棱角，给数值计算带来困难． 为 此，前人对其做了大量的修正［19］． 1952 年 Drucker 和 Prager 构造了一个内切于 M--C 准则的六棱锥的圆锥 屈服面，屈服曲面光滑没有棱角，考虑了中间主应力和 静水压力的影响，提出了 D--P 屈服准则［20］． D--P 屈服 准则函数形式为 f( I1，槡J2 ) = 槡J2 － αI1 － k = 0． ( 10) 式中，I1是第一应力不变量; J2是第二应力偏量不变量． α 和 k 是 D--P 屈服准则材料常数． 按照平面应变情况 下隧道轴向应变为零的塑性变形条件，α、k 与 c、ω 之 间存在一定的换算关系: α = sin ω 槡3 3 + sin2 槡 ω ， ( 11) k = 槡3ccos ω 3 + sin2 槡 ω ． ( 12) 其中 c 和 ω 分别是隧道围岩的凝聚力和内摩擦角． 工程中常采用中间主应力系数 n 来表示中间主应 力的影响程度，其表达式如下式: n = σ2 － σ3 σ1 － σ3 ． ( 13) 式中 σ1 表示最大应力，σ2 表示中间应力，σ3 表示 最小主应力． 结合( 10) ～ ( 13) 式可得 ( λ － nα － α) σ1 － ( λ － nα + 2α) σ3 － k = 0． ( 14) 式中，λ = 1 3 ( n2 槡 － n + 1) ． 在围岩中，隧道断面径向应力 σrp、切向应力 σθp与 隧道轴向应力 σzp两两正交，且一般切向应力最大，径 向应力最小，隧道轴向应力为中间主应力． 于是有 σzp = nσθp + ( 1 － n) σrp， ( 15) σθp － uσrp － v = 0． ( 16) 式中，u = ( λ － nα + 2α) ( λ － nα － α) ，v = k ( λ － nα － α) ． 1. 2. 2 应力场分析求解 如图 2 所示，从隧道 1 围岩中取出一个微元体来 分析其平衡状态: 当隧道围岩在整体上处于合外力为零的平衡状态 · 392 ·