f(dn) 求imf()=lm d= In( =vx+) ady,其中D:1≤x2+y2≤4 n→+∞2z10 解:交换积分次序()=J∫ Sm(二 rdr sn( zr)d== 2T(In costAl 2 2u coSt 2u cost dr dt,又lim dt=0(积分中值定理) 于是lm/(an)=2rln2。 y2+z2≤2 0用两种方去计们3(+:的,中Q22y > 解]利用函数与域的对称性,-J3 用柱坐标:Ⅰ= dz 2p(2-p2)4-1k 4 用球坐标:/5r2 v2 r2 sin e rose 5(4 sn 8 5 in e 2√cos db=274-2 9 10.设函数f(x)连续且恒大于零, ∫/(x2 f(x+y )do F()= G()=20 f(x+yao fo(1) 3! 1 3 = F 3 1 0 ( ( ) ) 3! 1  = f t dt 8． 求 dxdy x y z x y I u dz D u u u   + + = →+ →+ 2 2 2 2 2 0 1 sin( ) lim ( ) lim  ，其中 :1 4 2 2 D  x + y  解：交换积分次序 dxdy x y z x y I u dz D u   + + = 2 2 2 2 2 0 1 sin( ) ( )  ) cos sin( ) (ln dr r ur zr dz r rdr d u     = = − 2 0 1 2 1 2 0  2 2  在  2 1 cos dr r ur 中，令 ur = t 得  2 1 cos dr r ur  = u u dt t 2 cost ，又 0 cos lim 2 =  →+ u u u dt t t （积分中值定理） 于是 lim ( ) = 2 ln 2 →+ I u u 。 9．用两种方法计算   + + dxdydz z x y ) 1 ( 8 5  ，其中       +  + +   1 1 2 2 2 2 2 2 z x y x y z : 。 [解] 利用函数与域的对称性，   = dV z I 1 8 5  用柱坐标：    − = 2 2 1 1 0 2 0 1 8 5       dz z I d d  = − − 1 0 4 1 2 2 2 1 4 5 [(  ) ]d 。 { [( ) }   = − − 1 0 1 0 4 2 1 2 2 2 4 5  d d { (2 1) 1} 5 4 4 5 4 5 = − − 4 9 2 4 5 = − 。 用球坐标：    = 2 1 2 4 0 2 8 0 5         cos cos sin dr r r I d d   = 2 1 2 3 4 4 0 5      cos cos sin d r dr 4 5 0 4 2 5 2 2 4 5 = cos    −  4 0 3 5 2 4 5     d cos sin 4 9 2 4 1 2 2 4 5 4 5 = − − = − 。 10．设函数 f (x) 连续且恒大于零，   + + + =  ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) D t t f x y d f x y z dv F t  ，   − + = t t D t f x dx f x y d G t ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 