其中2()=(xy,)x2+y2+2st2},D(D)={(x,y)x2+y2≤r2} (1)讨论F()在区间(0,+∞)内的单调性。 (2)证明当t>0时,F()>=G() deo do dof(r2)r sin odr 2 //(2)rdr (1)F() del f(r)rdr f(r)rdr 20()(r2)(-rb F'(1)= f(r)- f(rrr (2)因G(1) 所以只需证t>0时 f(r dr F()-2G(0)>0,即J。(r2)yatJ(r2)b-可(r3y>0 今g(0)=。(r2)otf(r2)-(r)rr 则g(O)=(2)∫(r2X(-r)b>0.所以当x∈(0+)时g()在 又g(t)在t=0连续,当t>0有g()>g(0)=0。F(1)--G(1)>0。 11.求三重积分 =/+y+),其中 0≤≤sy-y2-2 y,2 ≤√x2+ 解:由函数与域的对称性; x+y+zlv=ll 球坐标系:I dv=do de rCosor Sing dr 柱坐标系:|=Ja0jpdp∫h=x;其中 ( ) {( , , ) }, ( ) {( , ) } 2 2 2 2 2 2 2  t = x y z x + y + z  t D t = x y x + y  t （1） 讨论 F(t) 在区间 (0,+) 内的单调性。 （2） 证明当 t  0 时， ( ) 2 F(t) G t   (1)        = = t t t t f r rdr f r r dr d f r rdr d d f r r dr F t 0 2 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) sin ( )          −  = t t f r rdr tf t f r r t r dr F t 0 2 2 0 2 2 [ ( ) ] 2 ( ) ( ) ( ) ( )  0 。 （2）因   = t t f r dr f r rdr G t 0 2 0 2 ( ) ( ) ( )  ，所以只需证 t  0 时 ( ) 0 2 F(t) − G t   ，即 0 2 0 2 0 2 0 2 2 −     ( ) ( ) [ ( ) ] t t t f r r dr f r dr f r rdr ， 令 2 0 2 0 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]    = − t t t g t f r r dr f r dr f r rdr ， 则 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 2 2  = −   g t f t f r t r dr t ，所以当 x(0,+) 时 g(t) 在 又 g(t) 在 t = 0 连续，当 t  0 有 g(t)  g(0) = 0 。 ( ) 0 2 F(t) − G t   。 11. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ;