(3)球坐标系 1= de a sin pdo asotin f(rsin cose, rsin sin @,coso)rdr ∫。 deE sin pdp( rsin cos, raisin, rcos)r2b 6.用两种方法计算 (ax +by+ ca )dxdydz 方法1:由对称性 xdxdvdz ydxdydE=0 x-+y-+=-≤2 +y-+x-≤2 于是I 4c 法2:x2+y2+2≤2z的重心坐标在(001) 所以 dady=V=丌 于是I 7.设f(x)在区间O上连续,证∫小J,(x)()()= 31y 证设「f(t)dh=F(x) ∫∫”f(x)0)(,(xy)F(dy Jor(x)dx[ /(LF()-F(x)]dF(y) ∫。/(x)2F(y)-F()F(x)2ax ∫。(x)2F()+F2(x)-F(f(x)lx F2(1)+F(x)-F()F(x)dF(x) =2F(O)F(x)+1.1 232(x)-2F(F(x（3） 球坐标系    + =        cos sin      2 0 2 4 0 2 0 sin ( sin cos , sin sin , cos ) a I d d f r r r r dr    +              2 sin cos 0 2 2 4 2 0 sin ( sin cos , sin sin , cos ) a d d f r r r r dr 6．用两种方法计算  + +  + + x y z z ax by cz dxdydz 2 2 2 2 ( ) 方法 1： 由对称性  + +  = x y z z xdxdydz 2 2 2 2 0 2 2 2 2 =  x +y +z  z ydxdydz               = = + +  2cos 0 3 2 0 2 0 2 3 4 sin cos 2 2 2 zdxdydz d d d x y z z 于是  3 4c I = 法 2： x y z 2z 2 2 2 + +  的重心坐标在 (0,0,1) 所以  3 4 2 2 2 2 = =  + +  zdxdydz V x y z z 于是  3 4c I = 7． 设 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，证 3 1 0 1 1 0 ( ( ) ) 3! 1 ( ) ( ) ( )     dx d y f x f y f z dz = f t dt y x x 证 设 ( ) ( ) 0 f t dt F x x =  dx d y f x f y f z dz f x dx f y F z d y x y x y   x  x   = 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) 1 1 0 f x dx f y F y F x dF y   x = − f x F y F y F x dx =  − x 1 0 2 1 ( ) ( ) ( )] 2 1 ( )[ f x F F x F F x dx  = + − 1 0 2 2 ( ) (1) ( )] 2 1 (1) 2 1 ( )[ ( ) (1) ( )] ( ) 2 1 (1) 2 1 [ 1 0 2 2 F F x F F x dF x  = + − 1 0 2 3 2 (1) ( )] 2 1 ( ) 3 1 2 1 (1) ( ) 2 1 =[ F F x +  F x − F F x