于是,S=41+(2)2+()db=4∫ dxdy 4〔5doa √玉a/2 -dr=2rmal-va 1a14m 3.计算 idx In 解:注意到「xd=1,令fxy ∫n=jxbh=∫小,xa=h2 4.设f(x)为恒大于零的连续函数,证」f(x)x/。1 ax≥(b-a) f(x) 证:(2时=(my D:a≤x≤b,a≤y≤b 同理f(x)db d dxe f(x) 所以2()几=(x+O f(x) fo) fo f2(x)+f2(y) dadu≥ 2x/(0hb=2订dh f(xfG) f(xf() D 2(b-a) 5.设由曲面x2+y2=a和曲面z=2a-√x2+y2(a>0)所围成,将 f(x,y=)dhv化成三类坐标系下的三次积分 (1)直角坐标系 a2-x2 f(x, y, =dz (2)柱坐标系 1= de rdrl2 f(rose, rsin 0, =)dx于是，   − − =   +   = + D D dxdy a x y a dxdy y z x z S 2 2 2 2 2 4 1 ( ) ( ) 4 2 4 2 [ ] 15 / 4 2 3 / 2 2 2 15 / 4 3 / 2 2 2 2 0 a dr a a r a r ar d a a a a     = − − = − =   3．计算 dx x x  1 − 0 ln 1 解：注意到 x x x dy y ln 1 1 0 − =  ，令 y f (x, y) = x dx x x  1 − 0 ln 1 ln 2 1 0 1 0 = = =    x dxdy dy x dx y D y 4．设 f (x) 为恒大于零的连续函数，证 2 ( ) ( ) 1 ( ) dx b a f x f x dx b a b a  −   证： dxdy f y f x dy f y dx f x dx f x f x dx b a D b a b a b a     = = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) D : a  x  b,a  y  b 同理 dxdy f x f y dx f x f x dx D b a b a   = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 所以   b a b a dx f x f x dx ( ) 1 2 ( ) dxdy f x f y f y f x D ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  = +     = + = D D D dxdy dxdy f x f y f x f y dxdy f x f y f x f y 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 2(b − a) 5．设  由曲面 x + y = az 2 2 和曲面 2 0) 2 2 z = a − x + y （a  所围成，将   f (x, y,z)dv 化成三类坐标系下的三次积分。 （1） 直角坐标系    − + + − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) a x y a x y a x a x a a I dx dy f x y z dz （2） 柱坐标系    − = a r a r a I d rdr f r r z dz 2 0 2 0  2 ( cos, sin, ) 