高等数学重点难点100讲 第23讲反函教的导数、双曲函教和 反双曲函数的导数 、反函数的导数 反函数求导主要依据的是定理:设函数x=9(y)在(c,d)上单调可导且y(y)≠0,则它 的反函数y=f(x)在y)的值域(a,b)上也可导,且f()=d(y(反函数导数公式 例1试证:(1)( arsh.x) ;(2)(arche √1+ ,(x>1); (3)(artha)' 证(1)设x=shy为直接函数,则y= ashe是它的反函数,函数x=shy在区间I, =(-∞,+∞)内单调可导,且x,=chy=>0.因此由反函数求导公式知在 对应区间I2=(-∞,+∞)内有 但由x=e e 2得(e”)2-2xe-1=0,解出e=x士√x2+1,因e>0,所以ey √x+1+x(舍去x-√x+1),从而e”=√x+1-x,进而得:y1=-2 即( 1 arcs.C (2)设x=chy是直接函数,则y= archa是它的反函数,函数x=chy在区间I,=(0, +∞)内单调地从 limch=1增加至 lim chy=+∞,可导,且xy=(chy)= 2 =shy>0.因此,由反函数求导公式知:在对应区间I=(1,+∞)内 2y,由x=chy,有x=七,由此得e=x士√x-1,当y∈(0,+ ∞)时,e”>1,故ey=x+√x2-1(舍去e=x-√x2-1),从而ey=x-√x2-1, 进而得yx 2√x2-1 ,即( archs) 1(x>1) (3)设x=thy为直接函数则y= arthr是它的反函数,函数x=thy在l=(-∞, +∞)单调地从 lim thy=lims-e1增加到mthy=1,可导且x,chy>0. y-ooe+e-y 因此由反函数求导公式知在对应区间I=(-1,1)内y4=1=chy=(e+e-12 2 e2+e-z+2 x 由x=ey+ey 即 得 +x,从而y 设++H+2+211 ,即( artha)= (|x|<1)