第23讲反函数的导数、双曲函数和反双曲函数的导数 75 例2设y=x+e,求它的反函数的定义域和反函数的导函数 解因为x在(-∞,+∞)上单调增,e在(-∞,+∞)上单调增,所以y=x+e 在(一∞,十∞)单调增,又yx=1+e>0,所以必存在单调连续反函数x=x(y)且在 (-∞,+∞)上可导,导数为 yr 1+ 例3证明由方程y+3y=x定义的单值函数y=y(x)存在,并求其导函数y(x) 解利用反函数与直接函数的关系先证明由方程y2+3y=x定义的单值函数y y(x)存在再用反函数求导法求解 设x=f(y)=3+y,其定义域为(-,+∞),值域为(-∞,+∞),且dy=3+ 3y2>0,可见x=f(y)在-∞<y<+∞内单调增加且可导,从而在-∞<x<∞内 存在单值的反函数y=y(x)且y(x)=1 3(1+y,其中y是由方程y+3y=x确 定的隐函数. 例4已知f(x)=3x2+e,在x=1处f(1)=6+e,f(x)有反函数y(x),求y(3 +e). 解利用反函数导数公式y4|。 y I yeyo 由于当x0=1时对应y=f(1)=3+e,若记y=3x2+e的反函数为x=y(y),从 而y(3+e)=x f(1)6+ 例5若y=f(x)存在单值反函数x=g(y),且yx≠0,y"≠0,求x"y 有人这样解:由x,=六得 上述解法对吗?若不对,请指出错误,并给出正确解答 解上述二阶导数解法错误,下面给出正确解法 BBRe(<4, ), &ARR 4&( ), 3. 8 8 53281361*81819 BRR9 y,x,线一兴 同理可得 (2 、双曲函数与反双曲函数的性质 首先要指出的是:不少初学者往往只重视对三角函数、反三角函数等基本初等函数的学 习,而忽视了对双曲函数反双曲函数的研究.这种认识是不妥的,因为在实际问题中常常涉 及在后继课程中常常要用到、在科技文献中常常出现有双曲函数、反双曲函数因此,我们 应该了解并掌握这两类函数的性质(见下面的表23-1)