X 得出x与f(x”)=1…n 和x与f(x9)j=1…,nl=1,…,n-r 第三步由决策人对第二步结果作判断 基对xq满意则停止 若不满意则qq+1返回第一步 三、优缺点 1可用于非单调区间 2容易反映目标间的矛盾关系 3非线性规划问题求解困难没有规范化的步骤保证收敛 §1137 Geoffrion法 一、思路 用 Frank- Wolfe法解线性约束的非线性规划问题 maxv(f(x)) ∈X 是在x°处,以阶 Taylor展开v(x)线性逼接vf(x))记作v(x) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题 max[V v(x)].x 令(2最优解为y°,则 i若[V,v(x°)(y°-x°)是(2)的最优解,迭代停止; i若Vnv(x)(y°-x°)>0,则从x出发沿y0-x方向作维搜索 即求maxv(x°+1°(y°-x°)的最优解t° 只要t°>0足够小,必有vx)>v(x°) 式中:-:+"(y:) 对x∈X,重复上述步骤,可得原问题0的最优解 V,v(x9)虽属未知,但Vyv(x)=SAV3f(x”) 除以,得∑",Vf(x)其中, 求解步骤11- 9 s. t. x X p q •  得出 x q • 与 f x j q ( ) • j=1,… ,n 和 x l q • 与 f x j l q ( ) • j=1,… ,n l =1,… ,n-r 第三步 由决策人对第二步结果作判断 基对 x q • 满意则停止 若 不满意则 q=q+1 返回第一步 三、优缺点 1.可用于非单调区间 2.容易反映目标间的矛盾关系 3.非线性规划问题求解困难,没有规范化的步骤保证收敛 §11.7Geoffrion 法 一、思路 ·用 Frank-Wolfe 法解线性约束的非线性规划问题 max v( f x • • ( ) ) (0) s. t. x X •  是在 x • 0 处，以一阶 Taylor 展开 ~ v (x) • 线性逼接 v( f x • • ( ) )[记作 v( x • )]: ~ v (x) • = v( x • 0 ) + [ x v(x ) 0 ] T ( x • - x • 0 ) (1) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题 max x X •  [ x v(x ) 0 ] T · x • (2) 令(2)的最优解为 y • 0 ，则 i,若 [ x v(x ) 0 ] T ( y • 0 - x • 0 ) 是(2)的最优解，迭代停止； ii,若[ x v(x ) 0 ] T ( y • 0 - x • 0 )0, 则从 x • 0 出发沿 y • 0 - x • 0 方向作一维搜索 即求 max 0 1 0 t  v( x • 0 + t 0 ( y • 0 - x • 0 ))的最优解 t 0 只要 t 0 0 足够小, 必有 v( x • 1 )v( x • 0 ) 式中 x • 1 = x • 0 + t 0 ( y • 0 - x • 0 ) 对 x X •  1 ，重复上述步骤，可得原问题(0)的最优解 x v(x ) 0 虽属未知，但 x v(x ) 0 =   v f j j n =  1 x j f (x ) 0 除以   v f l , 得 wj j n =  1 x j f (x ) 0 其中， w v f v f j j l =     -   f f l j j=1,… ,n 二、求解步骤