第四章重积分 6.2.含参变量广义积分 设I是一个(有限或无限)区间,考察含参变量积分 f(x)=g(x, t )dr (6.13) 如果对于每一个x,∫g(x,D)d是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕 积分),则称由(6.13)式确定的函数为含参变量广义积分。 付于由含参变量广义积分确定的函数,同样需要研究连续性、积分交 换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量 广义积分的一致收敛性,所以问题要复杂得多。 以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性,然后对于含参变量无穷 积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用,读者可以参考数学分析教 科书。 定义6.1:(含参变量无穷积分的一致收敛性)考察含参变量无穷积分 lg(x.l。 假设对于每个x∈1,关于变量t的无穷积分f(x,1)dt收敛。并记 F(x)=「f(x,1)d。如果对于任意正数E,都存在正数N,只要T满 足T>N,对于所有的x∈都有(x1)-F(x)kE,则称含参 变量无穷积分f(x,1)d关于参变量x∈一致收敛 关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题,有与定理 6.1,6.2和6.3平行的以下三个定理。(由于篇幅所限,略去这些定理 的证明细节) 定理6.5:设二元函数∫(x,D)在区域D={(x,1)|x∈l,t≥a}连续, 并且含参变量无穷积分f(x,)d关于参变量x∈I一致收敛。则函 数F(x)=f(x,t)a在区间I上连续。 定理6.6:设二元函数∫(x,)在区域D={(x,D)|x∈I,t≥a}连续, 并且含参变量无穷积分f(x,1)d关于参变量x∈一致收敛。则积 分(6f(x,1)m)x存在,并且 j (o f(x, t)d )dx=5 (f(,t)dx)dt 定理6.7:设二元函数f(x,1)在区域D={(x,D)|x∈l,t≥a}处处 可导,且处处连续,其中是有限区间。假设对于每个x∈1,关于 变量t的无穷积分f(x,n)d收敛。又设含参变量无穷积分 xf(x,1)d关于参变量x∈1一致收敛。则函数 F(x)=f(x,D)d可导,并且 F(x)= [f(x, n)]dt 作为定理6.7的一个应用,下面计算一个著名的广义积分 例6.3:计算 dx(a为常数)。 解:任取正数k>0,令1(a)=le-knaa。考察以a为参变 第五节含参变量的积分 6第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 6 6.2．含参变量广义积分 设 I 是一个（有限或无限）区间，考察含参变量积分 = I f (x) g(x,t)dt （6.13） 如果对于每一个 x ， I g(x,t)dt 是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕 积分)，则称由（6.13）式确定的函数为含参变量广义积分。 对于由含参变量广义积分确定的函数，同样需要研究连续性、积分交 换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量 广义积分的一致收敛性，所以问题要复杂得多。 以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性，然后对于含参变量无穷 积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用，读者可以参考数学分析教 科书。 定义 6.1：（含参变量无穷积分的一致收敛性）考察含参变量无穷积分  + a g(x,t)dt 。 假设对于每个 xI ，关于变量 t 的无穷积分  + a f (x,t)dt 收敛。并记 F(x) =  + a f (x,t)dt 。如果对于任意正数  ，都存在正数 N ，只要 T 满 足 T  N ，对于所有的 xI 都有 |  f (x,t)dt − F(x)|  T a ，则称含参 变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。 关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题，有与定理 6.1，6.2 和 6.3 平行的以下三个定理。（由于篇幅所限，略去这些定理 的证明细节） 定理 6.5：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 连续， 并且含参变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。则函 数 F(x) =  + a f (x,t)dt 在区间 I 上连续。 定理 6.6：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 连续， 并且含参变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。则积 分   + I ( f (x,t)dt)dx 0 存在，并且   + I ( f (x,t)dt)dx 0 =   + 0 ( f (x,t)dx)dt I 定理 6.7：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 处处 可导，且 x f   处处连续，其中 I 是有限区间。假设对于每个 xI ，关于 变量 t 的无穷积分  + a f (x,t)dt 收敛。又设 含参变量无穷 积分   +  a f x t dt x ( , ) 关于参变量 xI 一致收敛。则函数 F(x) =  + a f (x,t)dt 可导,并且     = + a f x t dt x F (x) [ ( , )] 作为定理 6.7 的一个应用，下面计算一个著名的广义积分。 例 6.3：计算  + 0 sin dx x ax （ a 为常数）。 解：任取正数 k  0 ，令 =  + − 0 sin ( ) dx x ax I a e kx 。考察以 a 为参变