第四章重积分 对于积分5,如 令t=tan,则cos dx 1+ cos x 1+t2 1+ 于是 2 dt=l 1+ cos x (1+y)+(1-y) 1+t 2 arctan 于是 0)=x(1+-1 积分得到 I()=r[ y+h+vI-y 注意到当y=0时 1()=I(y)=lIn(1+cos x)dx=0 所以C=-rhn2。从而 I()=In y+In+vI-v 1-T In 2 因此 JoIn(1+-cos x)dx (-)=丌[hn2+ln 丌ln2=l(2+√3) 在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分: f()=Jaing(x, t )dr (6.11) 有关此类函数的求导运算,有以下定理 定理64:假设函数g(x,)以及关于参变量x偏导数2都在区域 D={(x,y)a≤x≤b,a≤I≤B}连续,又设函数a(x),B(x)的值域都 属于区间[ab]。则f(x)=m(3.(x,)在区间[ab上可导,并且 f( dra(&(x, /dt=(B(xag(x, i d/+/(x, B(x)B(x)-f(x, a(x)a'(x) Sa(x) ax 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 5 对于积分  +  0 1 y cos x dx ，令 2 tan x t = ，则 2 2 1 1 cos t t x + − = ， 2 1 2 t dt dx + = 。 于是  +  0 1 y cos x dx  = + + −  = + − + + = + + 0 0 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 1 1 1 1 2 t y y t dt dt t t y t 2 1 2 ) 1 1 arctan( 1 2 2 0 2   − = + − − = + y t y y y 于是 ) 1 1 1 ( ) ( 2 y y y I y −  = + 积分得到 C y y I y y + + − = + ] 1 1 ( ) [ln ln 2  注意到当 y = 0 时 I( y) = ( ) ln(1 0cos ) 0 0 =  + =  I y x dx 所以 C = − ln 2 。从而 ] ln 2 1 1 ( ) [ln ln 2  −  + − = + y y I y y 因此  +  0 cos ) 2 1 ln(1 x dx ] ln 2 ln( 2 3) 2 1 2 3 1 ) [ln 2 ln 2 1 ( − = + + = I =  +  在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分： =  ( ) ( ) ( ) ( , ) x x f x g x t dt   （6.11） 有关此类函数的求导运算，有以下定理： 定理 6.4：假设函数 g(x,t) 以及关于参变量 x 偏导数 x g   都在区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，又设函数 (x),  (x) 的值域都 属于区间 [a,b] 。则 =  ( ) ( ) ( ) ( , ) x x f x g x t dt   在区间 [a,b] 上可导，并且 ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt f x x x f x x x x g x t g x t dt dx d f x x x x x         +  −      =  = (6.12)