第四章重积分 f(x+A-/()=1It8(x+Ax, 1)-8(x o) jdr 2g(x+△x,1)-g(x,1) 9) 因为存在,根据微分中值定理,存在介于x和x+Ax之间的点 使得 g(x+Ax, 0-g(x,n) g(5,1) (对于每一个t∈[a,6,5存在,但是一般5与t有关。) 于是由(6.9)式得到 f(x+Ar)-f(x)Bag(s, t) (6.10) 由(6.10)式得到 f(x+△x)-f(x)ag(x,D Ax ardt(=eog(5, 2/-Sg(, D at\ ≤12g52-g(x 由于S在区域D连续,所以一致连续。因此对于任意正数E,存在正 数δ,只要|Axkd,就有(注意|2-xAx|) ag(s, t ag(x,t),a 于是当|△xkd时,有 f(x+△x)-f(x) x,h/s08()ag(x,1) 这说明当Ax→0时,fx十△)-(x)的极限为x2m。从而 d f(x) +l8(x,1)h 注释:(6.8)式说明:对于含参变量所确定的函数求导数时,对于参 变量x求导运算可以与对于自变量t的积分运算交换顺序 例62:计算积分Y、c05x)dx。 解:记/(y)=1(1+ ycosx)dx。则根据定理6.3得到 T'()=In(1+ cos x) dx=5o i coS x d 56(1 y cosx y1+ycosx 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4 x x f x x f x  =  ( +  ) − ( ) 1  +  −   [g(x x,t) g(x,t)]dt  +  −  =   g x x t g x t dt x [ ( , ) ( , )] 1 （6. 9） 因为 x g   存在，根据微分中值定理，存在介于 x 和 x + x 之间的点  ， 使得 x x g t g x x t g x t    +  − = ( , ) ( , ) ( , )  (对于每一个 t [,  ]， 存在，但是一般  与 t 有关。) 于是由（6.9）式得到 x f x x f x  ( +  ) − ( )    =    dt x g( ,t) （6.10） 由（6.10）式得到， | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x | ( , ) ( , ) | dt x g x t dt x g t     −   =      dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) | 由于 x g   在区域 D 连续，所以一致连续。因此对于任意正数  ，存在正 数  ，只要 | x |  ，就有（注意 | − x || x | ）     −    −   | ( , ) ( , ) | x g x t x g t 于是当 | x |  时，有 | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) |       = −  dt 这说明当 x →0 时， x f x x f x  ( +  ) − ( ) 的极限为      dt x g(x,t) 。从而     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) 注释：（6.8）式说明：对于含参变量所确定的函数求导数时，对于参 变量 x 求导运算可以与对于自变量 t 的积分运算交换顺序。 例 6.2：计算积分  +  0 cos ) 2 1 ln(1 x dx 。 解：记 =  +  0 I(y) ln(1 y cos x)dx 。则根据定理 6.3 得到  +  + =    =   0 0 1 cos cos ( ) ln(1 cos ) dx y x x y x dx y I y  +  = + + = −    0 0 1 cos 1 ) 1 cos 1 (1 1 y x dx y y dx y y x