偏好和效用 效用函数:,设>为消费者i的偏好;称定义在X=RH上的函数u表 i的偏好,如果对任意xy∈RM,u(x)u(y)学xy注意,上式蕴含 了u(x)>u(y)分x>y以及u(x)=u(y)命xey。u又称为i的效用函数。 效用函数的存在性定理:如果消费者的偏好≥满足完备性,传递 性,连续性和严格增性公理,那么存在连续严格增的效用函数u 表示的偏好。又如果u是i的一个效用函数,那么对在何严格增 的一元实函数f,f(u()也是的簽用函数。 定义在RM上的函数称为拟凹的,如果对于xy∈RM(xy)和 x+y)mi(x),y)};如果上面的不等式是严格不 等式,则称是严格拟凹的。 偏好的凸性和效用函数的凹性:如果u是表示>的效用函数,那么 u是(严格)拟凹的当且仅>是(严格)凸的偏好和效用 • 效用函数：设≽为消费者i的偏好；称定义在Xi=RH上的函数u表示 i的偏好，如果对任意x,yRM ，u(x)u(y)⇔x≽y。注意，上式蕴含 了u(x)>u(y)⇔x≻y 以及u(x)=u(y)⇔x⋍y。u又称为i的效用函数。 • 效用函数的存在性定理：如果消费者i的偏好≽满足完备性，传递 性，连续性和严格增性公理，那么存在连续严格增的效用函数u 表示i的偏好。又如果u是i的一个效用函数，那么对任何严格增 的一元实函数f，f(u(·))也是i的效用函数。 • 定义在RM +上的函数f称为拟凹的，如果对于x,y RM + (x≠y) 和 t(0, 1)，f((1-t)x+ty)min{f(x),f(y)}；如果上面的不等式是严格不 等式，则称f是严格拟凹的。 • 偏好的凸性和效用函数的凹性：如果u是表示≽的效用函数，那么 u是（严格）拟凹的当且仅当≽是（严格）凸的