(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 (二)如果fx)是以2π为周期的函数，在[-元，上绝对可积，若∫(x)是奇函数， 则有)-2么血：若)是锅函敌则有/~受+公as (三)设f(x)仅在O,π]上有定义，如果按奇函数的要求，补充定义 f(x)=-f(-x),xe[-π，0)，然后再作2π周期延拓，必得奇函数，所得Fourier级 数必为正弦级数.对应地，补充定义f(x)=f(-x),x∈[-π，0)后，再作2π周期延 拓，必得偶函数，所得Fourier级数必为余弦级数. 例4)=0，h5x<元 1,0≤x<h (0<h<π)，将fm)展开成余弦函数 五、一般周期函数的Fourier级数 设f(x)是周期为T的函数，且在0，T刀上绝对可积，则有 受+2as2+6m27.其中a=1达， a-eoas32n=2.6-s2票m=2 例5：求fx)=x,-lsxs1的Fourier展开式. 六、Fourier级数的复数表示形式 设-受+a6os瓜+6nm.则其复数表示形式为 f()-c.em. 其中，复的Fourier系数C.=品，=广=C 作业教材P70:1,2,3,4,5,6,7,8.《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 5 （二）如果 f x( ) 是以 2 为周期的函数,在 [ , ] −  上绝对可积, 若 f x( ) 是奇函数, 则有 1 ( ) ~ sin n n f x b nx  =  ；若 f x( ) 是偶函数,则有 0 1 ( ) ~ cos 2 n n a f x a nx  = + . （ 三 ） 设 f x( ) 仅 在 [0, ]  上有定义 , 如 果 按 奇 函 数 的 要 求 , 补 充 定 义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = − −  − ,然后再作 2 周期延拓,必得奇函数, 所得 Fourier 级 数必为正弦级数. 对应地, 补充定义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = −  − 后,再作 2 周期延 拓,必得偶函数, 所得 Fourier 级数必为余弦级数. 例 4 1,0 ( ) 0, x h f x h x     =     (0   h  ),将 f x( ) 展开成余弦函数. 五、 一般周期函数的 Fourier 级数 设 f x( ) 是周期为 T 的函数,且在 [0, ] T 上绝对可积, 则有 0 1 2 2 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a n n f x a x b x T T    = + +  ,其中 0 0 2 ( ) T a f x dx T =  ， 0 2 2 ( )cos , 1,2, T n n a f x xdx n T T  = =  0 2 2 ( )sin , 1,2, T n n b f x xdx n T T  = =  例 5: 求 f x x x ( ) , 1 1 = −   的 Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式 设 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  , 则其复数表示形式为 ( ) ~ inx n f x C e + −  , 其中, 复的 Fourier 系数 2 0 1 ( ) 2 2 n n inx n n a ib C f x e dx C   − − − = = =  . 作业 教材 P70：1，2，3，4，5，6，7，8