(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 ∫"(x)仅在区间[a,b]上有限个点处不连续且为第一类间断点，则称f(x)是区 间[a,b]上的按段光滑函数 按段光滑函数的性质：设函数(x)在区间[a,b]上按段光滑，则 ()fx)在区间[a,b]上可积： (2)对Vxe[a,b],f(x±0)都存在，且有 =+0+0=+0, =-0-f-0).(用中值定理E明) (3)f'(x)在区间[a,b]上可积. (二)收敛定理： 定理15.3设函数f(x)是以2π为周期的周期函数且在区间[-π，π]上按 段光滑，则在Vx∈[-π，π]，f(x)的Fourier级数 受+宫0，心后+么由：收效于四在点：的左、右极限的第术平约值。即 +0生/-0-受+2，sm+6如 2 其中an和b,为函数f(x)的Fourier系数.（证明放到以后进行） 推论若f(x)是以2π为周期的连续函数，在[-π，π】上按段光滑，且 则f(x)的Fourier级数在(-o,+D)内收敛于fx). 四、正弦级数和余弦级数 (一)定义 形如∑b,sir的三角级数（函数项级数）称为正弦级数；形如 受+∑0.c0s心的三角级数（函数项级数称为余弦级数 《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 4 f (x) 仅在区间 [ a , b ] 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 f (x) 是区 间 [ a , b ] 上的按段光滑函数. 按段光滑函数的性质: 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上按段光滑, 则 ⑴ f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积; ⑵ 对  x[ a , b ], f (x  0) 都存在 , 且有 ( 0) ( ) ( 0) lim 0 =  + + − + → + f x t f x t f x t , ( 0) ( ) ( 0) lim 0 =  − − − − − → + f x t f x t f x t . ( 用 Lagrange 中值定理证明 ) ⑶ f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积 . （二）收敛定理: 定理 15.3 设函数 f (x) 是以 2 为周期的周期函数且在区间 [ − , ] 上按 段光滑 , 则在  x[ − , ] , f (x) 的 Fourier 级数   = + + 1 0 cos sin 2 n an nx bn nx a 收敛于 f (x) 在点 x 的左、右极限的算术平均值 , 即 = + + − 2 f (x 0) f (x 0)   = + + 1 0 cos sin 2 n an nx bn nx a 其中 n a 和 n b 为函数 f (x) 的 Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 ) 推论 若 f (x) 是以 2 为周期的连续函数 , 在 [ − , ] 上按段光滑,且 则 f (x) 的 Fourier 级数在 ( −  , +  ) 内收敛于 f (x) . 四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形 如 1 sin n n b nx  =  的三角级数 ( 函数项级数 ) 称 为 正 弦 级 数 ; 形 如 0 1 cos 2 n n a a nx  = + 的三角级数(函数项级数称为余弦级数