(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 Fourier级数 4)如果fx)仅定义在长为2π的区间上，例如定义在0,2π)上，此时f(x) 不是周期函数，从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对f(x)在0,2π) 外补充定义，使其以2π为周期，如定义 f(x)=f(x-2nr),x∈(2nπ，2(n+1)z) 它有下述性质：a)x∈0,2π)时，f(x)=fx):b)f(x)以2π为周期， 例3fx)=e,(-π≤x<π)，求f)的Fourier级数. 内积和正交：由R中的内积与正交概念引入. 设函数∫和g在区间[a,b]上(R)可积，定义内积为 <f.g>=[f(x)g(x)dkx 当<f,g>=0时，称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上正交 函数的正交性与区间有关.例如函数fx)=-x和g(x)=x2在区间[0,1] 上并不正交（因为<了，8>=一号)，但在区间-1小卸是正交的 正交函数系统：标准正交系（么正系），完全系 二、以2π为周期函数的Fourier级数 定理15.2若在整个数轴上 =学+2am+6动m, 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 a.=f)cosm本， n=0,1,2, 6=2fx)smm本，n=1,2. 三、收敛定理： (一)按段光滑函数： 定义：若fx)的导函数∫"(x)在区间[a,b]上连续，则称函数fx)在区间 [a,b]上光滑.若函数f(x)在区间[a,b]上至多有有限个第一类间断点，且 3《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 3 Fourier 级数. 4) 如果 f x( ) 仅定义在长为 2 的区间上,例如定义在 [0, 2 )  上, 此时 f x( ) 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为 Fourier 级数.但可对 f x( ) 在 [0, 2 )  外补充定义,使其以 2 为周期, 如定义 ~ f x f x n ( ) ( 2 ) = −  , x n n  + (2 ,2( 1) )   它有下述性质: a) x [0,2 )  时, ~ f x f x ( ) ( ) = ； b) ~ f x( ) 以 2 为周期. 例 3 ( ) ,( ) x f x e x = −     ,求 f x( ) 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由 R 3 中的内积与正交概念引入. 设函数 f 和 g 在区间 [ a , b ] 上 ( R)可积 . 定义内积为    = b a f , g f (x)g(x)dx . 当  f , g  = 0 时 , 称函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上正交 函数的正交性与区间有关 . 例如函数 f (x) = − x 和 2 g(x) = x 在区间 [ 0 ,1] 上并不正交 ( 因为  f , g  = 4 1 − ) , 但在区间 [ −1,1] 却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以 2 为周期函数的 Fourier 级数 定理 15.2 若在整个数轴上 f (x) =   = + + 1 0 cos sin , 2 n an nx bn nx a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式  1 an = −   f (x)cos nxdx， n = 0 ,1, 2 ,   1 bn = −   f (x)sin nxdx ， n = 1, 2 ,  三、 收敛定理: （一） 按段光滑函数: . 定义：若 f (x) 的导函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 则称函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上光滑. 若函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上至多有有限个第一类间断点, 且