(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 a=上fed,a=上f)eoamds.m=12. 6.=fx)sinm,n=l2· 称为f)的Fourier系数，记为f)~受+立(a.cosn+b,sinm) 定理15.1若级数冬+2a,+16,D收敛，则级数 受+a,cosm+6,sinm)在R内绝对且一致收敛， 证明：用M判别法 (二)说明 1）在未讨论收敛性，证明号+立(a,cosr+6,snm)一致收敛到f)之前， 不能将“~”改为“=”；此处“心”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 受+三a,eosm+久snm)是/的Porier级数，或者说/e)的Forier级 数是受+2a,osm+6smm.2》要求-，]止)的Fouier级.数只 须求出Fourier系数 例1设fx)是以2π为周期的函数，其在-π，]上可表示为 m-600 求fx)的Fourier展开式. 3)计算f(x)的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积 aacoms. bf()sind.1. 例2设fx)是以2π为周期的函数，其在[0,2π)上等于x,求f(x)的 2 《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 0 1 a f x dx ( )   − =  ， 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   − = =  ， 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   − = =  称为 f x( ) 的 Fourier 系数，记为 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  定理 15.1 若级数   = + + 1 0 (| | | |) 2 | | n an bn a 收敛 , 则级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  在 R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用 M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  一致收敛到 f x( ) 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  是 f x( ) 的 Fourier 级数，或者说 f x( ) 的 Fourier 级 数是 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  . 2) 要求 [ , ] −  上 f x( ) 的 Fourier 级数,只 须求出 Fourier 系数. 例 1 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] −  上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x      =   −   , 求 f x( ) 的 Fourier 展开式. 3) 计算 f x( ) 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为 2 的去件来积. 如 2 0 0 1 a f x dx ( )   =  ， 2 0 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n   = =  ， 2 0 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n   = =  例 2 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 )  上等于 x ,求 f x( ) 的