高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 解：记三角形域为Σ，取上侧， dydz dzdx dxdy dzdx+xdy+ydz 品 品 y -fIdydz+dzdx+dxdy-3fdxdy- 例2.厂为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线，从z轴正向看为顺时针，计算 I=dy2dx+xydy+xzdz. 解：设Σ为平面z=y上被Γ所围椭圆域，且取下侧，则其法线方向余弦 v2:cosy=-1 1 cosa=0,cosB= 利用斯托克斯公式得 cosa Cos B cOSy 0」 dS=- 1 [f(v-z)ds=0 P R 二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2.设G是空间一维单连通域. 函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数，则下列四个条件相互等价： Pdx+Ody+Rdz=0 ()对G内任一分段光滑闭曲线Γ，有 (2)对G内任一分段光滑曲线Γ， [Pdx+Qdy+Rdz 与路径无关 (③)在G内存在某一函数u,使du=Pdr+Qdy+Rdz (④)在G内处处有器=器，器=器，器=器 三、环流量与旋度 斯托克斯公式 儿(-器)dydz+(得-船)dzdx+(器-0)dxdy=fPdx+edy+Rdz 设曲面∑的法向量为n=(cosu,cosB,cosy) 曲线T的单位切向量为t=(Cos元，cos4,cosv)