曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结论。(c)曲面之斜截线及其曲率。(d 曲面之法截线、主法截线及其曲率。(e)曲面局部表示。②曲面上标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学,类比于一般曲线坐标系的概念建立,获得曲面上 Frenet标架及其运动方 程。③曲面的半正交基。m维 Euclid空间中某m-1维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向 量(基于线性代数中齐次线性方程组理论);籍此可定义基于曲面的半正交基,隶属完整基。上述基于曲 面的半正交基的建立需要曲面是非褪化的,且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存在。 第09、10周 2.曲面上张量场微分学(基于映照观点)①基于曲面上张量场可微性定义,引入曲面上协变导数。②定义 于曲面上的张量场其整体形式相对于某曲面坐标的偏导数。③按定义于曲面上的张量场其对曲面坐标的 混合偏导数可以交换次序的结论,引入 Riemann-Christoffel张量, Ricci s等式( Gauss方程)以及 Codazzi方程。 第11、12周 3.曲面上张量场微分学(基于流形/算子观点)①以有限维 Euclid空间中光滑曲面( Riemann流形)作 为对象,按微分同胚以及列满秩映照叙述坐标卡以及地图册(概念及作用)。②流形上 Riemann度量、 Levi- Civita联络、协变微分的坐标定义, Euclid空间中曲面对相关概念的具体实现。③曲面切空间 及余切空间;曲面上张量场。④同态映照及推前与拉回运算,基于参数构型中的微分同胚。⑤曲面上张 量场的Lie导数与物质导数,Hodεe星算子,里积运算,外微分运算,流形上主要微分运算之间的关系 ⑥力学、物理等方面的几何化相关内容 第13周。本部分有关内容在课程上仅做概述,学生可进一步研习 曲面上张量场积分学内蕴形式广义 Stokes公式基于微积分中 Stokes公式的指标形式,获得一般张 量场线积分一面积分间恒等式的推演方法。 第14周 第四部分外积运算及二阶张量(仿射量)的代数性质 外积运算①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给予方阵行列式的解析表达式,为 进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子。外积算子的基本性质源于反 对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式。 第15周 2.仿射量的特征问题①仿射量特征问题的提法。包括:特征值,左、右特征向量,特征多项式。②仿射量 的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变量的外积表示。④ Hamilton caye定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由1阶直至r阶矩表示。⑥矩以及主不变量关 于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数;再由主不变量同矩之间的关系,获得主不变量关于仿 5/75 / 7 曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结论。（c）曲面之斜截线及其曲率。（d） 曲面之法截线、主法截线及其曲率。（e）曲面局部表示。②曲面上标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学，类比于一般曲线坐标系的概念建立，获得曲面上 Frenet 标架及其运动方 程。③曲面的半正交基。m 维 Euclid 空间中某 m－1 维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向 量（基于线性代数中齐次线性方程组理论）；籍此可定义基于曲面的半正交基，隶属完整基。上述基于曲 面的半正交基的建立需要曲面是非褪化的，且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存在。 ——第 09、10 周 2. 曲面上张量场微分学（基于映照观点） ①基于曲面上张量场可微性定义，引入曲面上协变导数。②定义 于曲面上的张量场其整体形式相对于某曲面坐标的偏导数。③按定义于曲面上的张量场其对曲面坐标的 混合偏导数可以交换次序的结论，引入 Riemann-Christoffel 张量，Ricci 等式（Gauss 方程）以及 Codazzi 方程。 ——第 11、12 周 3. 曲面上张量场微分学（基于流形/算子观点）①以有限维 Euclid 空间中光滑曲面（Riemann 流形）作 为对象，按微分同胚以及列满秩映照叙述坐标卡以及地图册（概念及作用）。②流形上 Riemann 度量、 Levi －Civita 联络、协变微分的坐标定义，Euclid 空间中曲面对相关概念的具体实现。③曲面切空间 及余切空间；曲面上张量场。④同态映照及推前与拉回运算，基于参数构型中的微分同胚。⑤曲面上张 量场的 Lie 导数与物质导数，Hodge 星算子，里积运算，外微分运算，流形上主要微分运算之间的关系。 ⑥力学、物理等方面的几何化相关内容。 ——第 13 周。本部分有关内容在课程上仅做概述，学生可进一步研习。 4. 曲面上张量场积分学 内蕴形式广义 Stokes 公式 基于微积分中 Stokes 公式的指标形式，获得一般张 量场线积分－面积分间恒等式的推演方法。 ——第 14 周 第四部分 外积运算及二阶张量（仿射量）的代数性质 1. 外积运算 ①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给予方阵行列式的解析表达式，为 进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子。外积算子的基本性质源于反 对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式。 ——第 15 周 2. 仿射量的特征问题 ①仿射量特征问题的提法。包括：特征值，左、右特征向量，特征多项式。②仿射量 的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变量的外积表示。④Hamilton－ Cayle 定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 1 阶直至 r 阶矩表示。⑥矩以及主不变量关 于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数；再由主不变量同矩之间的关系，获得主不变量关于仿