换次序;涉及 Riemann- Christoffel i张量。④张量场的各种场论恒等式。此处,我们直接在一般曲线 坐标系下获得或者证明各种场论恒等式,此知识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用, 其知识要素包括:(a) Eddington符号同 Kronecker符号之间的关系;(b)Rici引理。注:此知识点 所含知识要素很简要,但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式,对理论及应 用研究都具有极其重要的作用。⑤应用事例:弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等式的 推演或证明。 第04周、第05周 4.非完整基(般文献常称为非完整系)理论①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度的表达形式。 然此处的张量场梯度是在完整基(完整系)下定义的;现在要在非完整基下获得张量场梯度(新的张量 的表达式,自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。非完整基理论,实际提供了一种“形式运算”, 以最终获得非完整基下张量场梯度的表达式,其主要步骤,包括:(a)相对于非完整坐标的形式偏导数 b)非完整基下的形式第二类 Christoffel符号,形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定 (c)非完整基下的形式协变导数,基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel符号。③完整 基为正交基,非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下,获得非完整基下张量场梯度 分量的形式运算变得十分简便。由此,为我们获得力学、物理上的各种张量场在单位正交基(源于正交 完整基的单位正交非完整基)下的分量表示提供了切实的方法。④应用事例:张量场方程中典型项在常 用单位正交基下的分量表示。典型项,如散度项、对流导数项、源项( Laplace算子项)等;单位正交 基,如柱坐标基、球坐标基、抛物双曲基等,都为非完整基。 第06周 基于曲线上标架的张量场场论① Frenet标架及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间向量值映照的 微分学以及相关张量恒等式,获得曲线上 Frenet标架及其运动方程;空间曲线曲率及挠率的定义及其几 何意义;空间曲线的局部近似。②对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形,完整基自然可为定义张量场梯度的基,而Femt标架为非完整基,由此 可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet标架的分量形式。③对某空间曲线上 有定义的张量场(可以曲线参数为自变量),可计算其对应曲线参数的导数(可认识为沿曲线的变化率) 此情形,需利用 Frenet标架及其标架运动方程 6.张量场的积分学内蕴形式广义Gau- Ostrograd公式基于微积分中Gaus- Ostrogradski公 式的指标形式,获得一般张量场面积分一体积分间恒等式的推演方法。 第07、08周 第三部分有限维Buid空间中曲面上张最场场论(微分学及积分学) 1.曲面基本几何性质①曲面的几何性质刻画。(a)曲面上的第一、第二类张量。(b) Gauss曲率及平均4 / 7 换次序；涉及 Riemann－Christoffel 张量。④张量场的各种场论恒等式。此处，我们直接在一般曲线 坐标系下获得或者证明各种场论恒等式，此知识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用， 其知识要素包括：（a）Eddington 符号同 Kronecker 符号之间的关系；（b）Ricci 引理。注：此知识点 所含知识要素很简要，但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式，对理论及应 用研究都具有极其重要的作用。⑤应用事例：弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等式的 推演或证明。 ——第 04 周、第 05 周 4. 非完整基（一般文献常称为非完整系）理论 ①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度的表达形式。当 然此处的张量场梯度是在完整基（完整系）下定义的；现在要在非完整基下获得张量场梯度（新的张量） 的表达式，自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。非完整基理论，实际提供了一种“形式运算”， 以最终获得非完整基下张量场梯度的表达式，其主要步骤，包括：（a）相对于非完整坐标的形式偏导数； （b）非完整基下的形式第二类 Christoffel 符号，形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定； （c）非完整基下的形式协变导数，基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel 符号。③完整 基为正交基，非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下，获得非完整基下张量场梯度 分量的形式运算变得十分简便。由此，为我们获得力学、物理上的各种张量场在单位正交基（源于正交 完整基的单位正交非完整基）下的分量表示提供了切实的方法。④应用事例：张量场方程中典型项在常 用单位正交基下的分量表示。典型项，如散度项、对流导数项、源项（Laplace 算子项）等；单位正交 基，如柱坐标基、球坐标基、抛物双曲基等，都为非完整基。 ——第 06 周 5. 基于曲线上标架的张量场场论 ①Frenet 标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的 微分学以及相关张量恒等式，获得曲线上 Frenet 标架及其运动方程；空间曲线曲率及挠率的定义及其几 何意义；空间曲线的局部近似。②对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形，完整基自然可为定义张量场梯度的基，而 Frenet 标架为非完整基，由此 可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet 标架的分量形式。③对某空间曲线上 有定义的张量场（可以曲线参数为自变量），可计算其对应曲线参数的导数（可认识为沿曲线的变化率）。 此情形，需利用 Frenet 标架及其标架运动方程。 6. 张量场的积分学 内蕴形式广义 Gauss－Ostrogradskii 公式 基于微积分中 Gauss－Ostrogradskii 公 式的指标形式，获得一般张量场面积分－体积分间恒等式的推演方法。 ——第 07、08 周 第三部分 有限维 Euclid 空间中曲面上张量场场论（微分学及积分学） 1. 曲面基本几何性质 ①曲面的几何性质刻画。（a）曲面上的第一、第二类张量。（b）Gauss 曲率及平均