教学进度安排 《张量分析及微分几何基础》(每周3学时,共54学时) 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”(基本部分)分成若干个“知识点”,而每个知识点由若干 “知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍 作调整。 第一部分张量及其代数运算I 张量的定义①基于多重线性映照;如未作特别说明,本课程中的底线性空间为有限维 Euclid空间 简单张量的定义。③有限维Euid空间中的任意一个基,存在且唯一存在其对偶基(基于矩阵的分块运 算及线性代数有关结论)。④张量空间上的线性结构,由此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张 量积运算 2.张量的表示①基于简单张量获得张量的表示;涉及张量的协变、逆变以及混合型分量。②张量基,张量 基之间的转化关系;③张量分量,张量分量之间的转化关系。 第01周 第二部分有限维Eucd空间中体积上张量场场论(微分学及积分学) 1.曲线坐标系①基于有限维 Euclid空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系的基本概念,包 括局部基(协变基、逆变基), Christoffel符号。②应用事例:获得一般速度、加速度在一般曲线坐标 系下的表示。 第02周 2.体积上张量场微分学I①张量场梯度。引入张量空间的范数,以此获得张量场的可微性定义,张量场的 导数可表现张量场的梯度(左梯度、右梯度)。②张量场的协变导数。张量场梯度的分量即为协变导数; 逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场(整体形式)的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴 下可按极限进行定义;基于张量场的可微性定义,易于获得具体计算式(基于协变导数)。进一步,可按 上述途径定义张量场的方向导数及其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数,按 形式定义的思想,可以定义张量场的各种场论微分运算,包括: Euclid空间中张量场的左、右梯度、散 度以及旋转,星算子等。⑤应用事例:连续介质力学中的应力张量,介质中某点某方向(对应以其为法 向量的平面上)的受力,由应力张量(二阶张量,以曲线坐标为自变量)点乘法向量确定;应力张量的 引出及相关结论基于四面体微元的受力分析 3.体积上张量场的微分学Ⅱ① Eddington张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论有:(a) 有限维 Euclid空间中 Eddington张量、度量张量的偏导数都为零,对应 Eddington张量及度量张量 的所有分量其所有的协变导数均为零;相关结论又称为Rici引理。(b) Euclid空间中协变导数可以交 3/73 / 7 教学进度安排： 《张量分析及微分几何基础》（每周 3 学时，共 54 学时） 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”（基本部分）分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干 “知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍 作调整。 第一部分 张量及其代数运算Ⅰ 1. 张量的定义 ①基于多重线性映照；如未作特别说明，本课程中的底线性空间为有限维 Euclid 空间。② 简单张量的定义。③有限维 Euclid 空间中的任意一个基，存在且唯一存在其对偶基（基于矩阵的分块运 算及线性代数有关结论）。④张量空间上的线性结构，由此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张 量积运算。 2. 张量的表示 ①基于简单张量获得张量的表示；涉及张量的协变、逆变以及混合型分量。②张量基，张量 基之间的转化关系；③张量分量，张量分量之间的转化关系。 ——第 01 周 第二部分 有限维 Euclid 空间中体积上张量场场论（微分学及积分学） 1. 曲线坐标系 ①基于有限维 Euclid 空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系的基本概念，包 括局部基（协变基、逆变基），Christoffel 符号。②应用事例：获得一般速度、加速度在一般曲线坐标 系下的表示。 ——第 02 周 2. 体积上张量场微分学Ⅰ ①张量场梯度。引入张量空间的范数，以此获得张量场的可微性定义，张量场的 导数可表现张量场的梯度（左梯度、右梯度）。②张量场的协变导数。张量场梯度的分量即为协变导数； 逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场（整体形式）的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴 下可按极限进行定义；基于张量场的可微性定义，易于获得具体计算式（基于协变导数）。进一步，可按 上述途径定义张量场的方向导数及其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数，按 形式定义的思想，可以定义张量场的各种场论微分运算，包括：Euclid 空间中张量场的左、右梯度、散 度以及旋转，星算子等。⑤应用事例：连续介质力学中的应力张量，介质中某点某方向（对应以其为法 向量的平面上）的受力，由应力张量（二阶张量，以曲线坐标为自变量）点乘法向量确定；应力张量的 引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 ——第 03 周 3. 体积上张量场的微分学Ⅱ ①Eddington 张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论有：（a） 有限维 Euclid 空间中 Eddington 张量、度量张量的偏导数都为零，对应 Eddington 张量及度量张量 的所有分量其所有的协变导数均为零；相关结论又称为 Ricci 引理。（b）Euclid 空间中协变导数可以交