银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 n.vl0+Od 即 fxy还=几o0,vp20)+y20t. 定理设x,)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x=00,=0)(a心)， 其中)、()在[a,上具有一阶连续导数，且p()+2()0,则曲线积分 fcd存在，且 Sf(x.yxds=[A.vho+d(ap. 证明（略） 应注意的问题：定积分的下限α一定要小于上限B. 讨论： (I)若曲线L的方程为=xa≤≤b),则∫fx,s=? 提示：L的参数方程为x=x,=x(a≤r≤b), fc=心x,wx+wPxd (2)若曲线L的方程为x=0yc≤≤，则∫fx,ys=? 提示：L的参数方程为x=o0y),=c≤d, Jf(x.yds=[fdy).ylo2)+idy (3)若曲T的方程为=0，=0，=00（≤≤， 则fcy=9 提示：「fy达=几o0.v0,o0o20+w0+o20d. 例1计算∫，其中L是抛物线=x2上点O0,0)与点BL,1)之间的一段 解曲线的方程为=x2(0≤≤1)，因此 2k=可Fi+乎=xi+4=65- 例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设 线密度为e1). 解取坐标系如图所示，则1=∫Pds 曲线L的参数方程为 第4页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 4 页       f[(t),(t)]  (t)  (t)dt 2 2  即         f x y ds f  t  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2  定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 x(t) y(t) (t) 其中 (t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且  2 (t) 2 (t)0 则曲线积分 f x y ds L ( , )  存在 且 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2  2            (<) 证明（略） 应注意的问题 定积分的下限  一定要小于上限  讨论 (1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 xx y(x)(axb) f x y ds f x x x dx b L a   ( , )  [ , ( )] 1  ( )   2  (2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 x(y) yy(cyd) f x y ds f y y y dy d L c   ( , )  [ ( ), ]  ( )1 2    (3)若曲  的方程为 x(t) y(t) z(t)(t) 则 f (x, y,z)ds  ? 提示 f (x, y,z)ds f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2  2  2                 例 1 计算 yds L   其中 L 是抛物线 yx 2上点 O(0 0)与点 B(1 1)之间的一段 弧 解 曲线的方程为 yx 2 (0x1) 因此      1 0 2 2 2 yds x 1 (x ) dx L    1 0 2 x 1 4x dx (5 5 1) 12 1    例 2 计算半径为 R、中心角为 2 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设 线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则   L I y ds 2  曲线 L 的参数方程为