第五章向量分析 取(xy)=1 g=a(x,y,-),两者都是调和函数 再取V={xy:2≤x2+y2+2≤R2}ca,r>0 a-) an jas =jflvr-rviudv =0 c() 由于 0(11,5 j,=手+手 d() udS,∵Ho=lo Vuv=0 rJ an ds= Di R VAud=0 手“m△=f“m=)手4=4xR2uP) 用于r的任意性 P 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( )              −    −  = dS n g f n f g f f g dv g 2 2 , 取 ( ) g u(x y z) r f x y z , , , 1 , , = = , 两者都是调和函数, 再取 ( )  2 2 2 2 2 V = x, y,z r  x + y + z  R   , r  0 ( ) ( ) 0 1 2 1 1 2 1 =  −  =           −     − −  − − V V dS u r r u dv n u r n r u  ( )    −  −   =   V V dS n u dS r n r u 1 1 由于， 2 0 0 0 1 1 n r r n r grad n r     = −        =        , ( ) ( ) ( )     −  −  −   −   =   V VR Vr dS n r dS u n r dS u n r u 1 1 1 ( )     − = −   VR VR udS R dS n r u 2 1 1 , 0 0 n r    = ( )     − = −   Vr Vr udS r dS n r u 2 1 1 , 0 0 n r    = 0 1 1 1 2 =  =   =        − VR VR VR udv R dS n u R dS n u r 0 1 1 1 2 =  =   =        − Vr Vr Vr udv r dS n u r dS n u r ( ) ( )  dS  R u P r R udS u P r R udS VR Vr Vr 2 2 2 2 2 = = = 4       用于 r 的任意性, ( ) ( ) 0 0 2 lim 4 1 udS u P u P R r VR = = →    