第五章向量分析 其中,O on grad fno=v.no )j8d=v/n6=于eV/)△=』vgV)h an on ∫(gv)=∫ygV+gv)h 移项后得:V)h=(g)h+ JUVg)ay+[(vg vf )v=sds 相减而成 Q 例5,设u:ΩcR3→R,二阶连续可导函数,若满足 a2u au a ax ay az 称之为g上的调和函数 显然,若u(xy,)是9上的一个调和函数,则 fm心=vbh=0 这是调和函数的重要特征。 由此可推:调和函数在Ω内任一点的函数值,由其边界ag上的 值所确定。 持别可证:VP(x0,y,z0)∈, ={xy2=)x2+y2+2≤r Q,r>0 ()=手a 为此,应用公式: 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 其中， 0 n0 grad f n f n f   =  =     (2) ( ) ( )            =   =   =      dS g f n dS g f dS g f dv n f g   0 = ( ) ( )      gf dv = g f + g f dv 2 移项后得： ( ) ( )           = −   + dS n f g f dv g f dv g (3) ( ) ( )           +   = dS n f g f dv f g dv g ( ) ( )           +   = dS n g f g dv g f dv f 相减而成: ( )              −    −  = dS n g f n f g f f g dv g 2 2 . 例 5, 设 u   R → R 3 : , 二阶连续可导函数, 若满足 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u u   +   +    =  = =0, 称之为  上的调和函数. 显然，若 u(x, y,z) 是  上的一个调和函数, 则 0 2 =  =      dS u dv n u V V , 这是调和函数的重要特征。 由此可推：调和函数在  内任一点的函数值，由其边界  上的 值所确定。 持别可证： ( ) 0 0 0 0 0 P x , y ,z  , ( )  2 2 2 2 V x, y,z x y z r r = + +    , r  0 ( )   = Vr u dS r u P0 2 4 1  . 为此，应用公式：