·258- 智能系统学报 第8卷 IPSO算法 |(k)|)|△u(k)|≤M△u(k): (k),2 式中：M为 无模型控制器A非线性时滞系统++) (k) +(k)的上界 he(k) ⑧：(k+) 由此可知，系统的输出是有界的.下面说明系统 + 的输入也是有界的.由式(9)可得 误差修正 y.(k+) |△u(k)|≤ (k) 图4基于PS0的无模型控制结构 A+9()2X Fig.4 The block diagram of model free control based 11-hllyo-y(k)NIYo -y(k) on IPSO 式中：N为 (k) ×|1-h的上界.而输人 2.3控制器的收敛性分析 入+0(k)2 定理当参考轨迹y,(k)是常数时，适当选择 u(k)=u(k-1)+△u(k),则 参数0，~0。h、入后，在控制律(8)作用下，系统(3) u(k)|≤u(k-1)|+|△u(k)|≤ 是BBO稳定的，并且收敛于设定值。 |△u(k)|+|△(k-1)|+…+|△u(2)|+|u(1). 证明1首先证明系统是BIBO稳定的.令 由此可以说明控制输入也是有界的.因此系统 y,(k)=y,由式(8)可得 是BIBO稳定的. 证明2系统的收敛性.将控制律(8)代入式 o(k) 4u(k)=APa×(1-h)(x,-y(k+). (5),并用y,相减，可得 (9) x-(k+7+1)=(1-()() 将式(9)代入式(5)，然后等式两边同时用y,相减， 1+9())× 可得 (1-h)(y,-y(k+T)). y,-y(k+T+1)= 于是有 (1-()() 1- (k)o(k) ×(1-h)(y,-y(k+r))= y,-y(k+T+1)|≤ +()2 入+p(k)2 （1-9(k)9(2)xA+94()= |1-h|ly,-y(k+r)= 入+p(k)p(k) A+(k)2 (k) A+9(k)2 11-hlly =y(k+7). -(k))△u(k). (k) 由于(k)=p(k)-p(k)为p(k)的估计误差， 下面说明p(k)与(k)均有界.由式(6)，有 当k充分大时，可保证I(k)1<I⊙(k)I,即 Io(k)|≤|8，Ip(k-1)|+ 入+p(k)(k) <1.因此只需令0<h<2就可得 |02|川p(k-2)|+…+16川p(k-p).(10) A+⊙(k)2 当k=1,2,…,-1时，给系统一个外输入信号，测得 lim yo -y(++1)=0. 系统的相应输出，令 即系统是收敛的证毕 P(k)=P(6)=k+)-(6) 3 u(k)-u(k-1)' 仿真试验与分析 k=1,2,…,p-1, 为验证所提算法的有效性，选择如下的非线性 即为p(k)的初值，由此可知，|中(k)1(k=1,2,…, 大时滞系统，其模型为[6 p-1)有界.适当选择参数0，~0，的范围（如10,1≤1， y(k)y(k-1) i=1,2,…,P),则由式(10)可知，当k=r时，1o(k)川 +1)=1+2+4-+k-2+ 也有界以此类推，可以得到结论如(k)有界.因为 u(k-9)+1.1u(k-10) Ip(k)I<b,由(k)=p(k)-p(k)可知，(k)亦有 在仿真中，PS0算法的参数设置如下：种群总 界因此，适当选择入值，如令0<入<1，就有 数为5，惯性权重w=0.7298,学习因子c1=c2= |y,-y(k+r+1)|≤( 1.4962,粒子向量的维数为6（对应于91~0，、h、入 6个变量)，最大迭代次数为10，微粒速度范围为图 ４ 基于 ＩＰＳＯ 的无模型控制结构 Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｍｏｄｅｌ ｆｒｅｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＩＰＳＯ ２．３ 控制器的收敛性分析 定理 当参考轨迹 ｙｒ（ ｋ） 是常数时，适当选择 参数 θ１ ～ θｐ、ｈ、λ 后，在控制律（８）作用下，系统（３） 是 ＢＩＢＯ 稳定的，并且收敛于设定值． 证明 １ 首先证明系统是 ＢＩＢＯ 稳定 的． 令 ｙｒ（ｋ）＝ ｙｒ，由式（８）可得 Δｕ（ｋ） ＝ φ ＾ （ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ × （１ － ｈ）（ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ））． （９） 将式（９）代入式（５），然后等式两边同时用 ｙｒ相减， 可得 ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ＝ （１ － φ ＾ （ｋ）φ（ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ ） × （１ － ｈ）（ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ）） ＝ （１ － φ ＾ （ｋ）φ（ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ ） × λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ φ ＾ （ｋ） Δｕ（ｋ） ＝ （ λ φ ＾ （ｋ） － φ ～ （ｋ））Δｕ（ｋ）． 下面说明 φ ＾ （ｋ）与 φ ～ （ｋ）均有界．由式（６），有 φ ＾ （ｋ） ≤ θ１ φ ＾ （ｋ － １） ＋ θ２ φ ＾ （ｋ － ２） ＋ … ＋ θｐ φ ＾ （ｋ － ｐ） ．（１０） 当 ｋ ＝ １，２，…，ｒ－１ 时，给系统一个外输入信号，测得 系统的相应输出，令 φ ＾ （ｋ） ＝ φ（ｋ） ＝ ｙ（ｋ ＋ １） － ｙ（ｋ） ｕ（ｋ） － ｕ（ｋ － １） ， ｋ ＝ １，２，…，ｐ － １， 即为 φ ＾ （ｋ）的初值，由此可知， ｜ φ ＾ （ ｋ） ｜ （ ｋ ＝ １，２，…， ｐ－１）有界．适当选择参数 θ１ ～ θｐ 的范围（如 ｜ θｉ ｜ ≤１， ｉ ＝ １，２，…，ｐ），则由式（１０）可知，当 ｋ ＝ ｒ 时， ｜ φ ＾ （ｋ） ｜ 也有界．以此类推，可以得到结论 φ ＾ （ ｋ） 有界．因为 ｜ φ（ｋ） ｜ ＜ｂ，由 φ ～ （ ｋ） ＝ φ（ ｋ） －φ ＾ （ ｋ） 可知，φ ～ （ ｋ） 亦有 界．因此，适当选择 λ 值，如令 ０＜λ＜１，就有 ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ≤ （ λ φ ＾ （ｋ） ＋ φ ～ （ｋ） ） Δｕ（ｋ） ≤ Ｍ Δｕ（ｋ） ． 式中：Ｍ 为 λ φ ＾ （ｋ） ＋ φ ～ （ｋ） 的上界． 由此可知，系统的输出是有界的．下面说明系统 的输入也是有界的．由式（９）可得 Δｕ（ｋ） ≤ φ ＾ （ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ × １ － ｈ ｙ０ － ｙ（ｋ） ≤ Ｎ ｙ０ － ｙ（ｋ） ． 式中： Ｎ 为 φ ＾ （ｋ） λ＋φ ＾ （ｋ） ２ × １－ｈ 的 上 界． 而 输 入 ｕ（ｋ）＝ ｕ（ｋ－１）＋Δｕ（ｋ），则 ｕ（ｋ） ≤ ｕ（ｋ － １） ＋ Δｕ（ｋ） ≤ Δｕ（ｋ） ＋ Δｕ（ｋ － １） ＋ … ＋ Δｕ（２） ＋ ｕ（１） ． 由此可以说明控制输入也是有界的．因此系统 是 ＢＩＢＯ 稳定的． 证明 ２ 系统的收敛性．将控制律（８） 代入式 （５），并用 ｙｒ 相减，可得 ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ＝ （１ － φ ＾ （ｋ）φ（ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ ） × （１ － ｈ）（ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ））． 于是有 ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ≤ １ － φ ＾ （ｋ）φ（ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ × １ － ｈ ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ） ＝ λ ＋ φ ＾ （ｋ）φ ～ （ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ × １ － ｈ ｙｒ － ｙ（ｋ ＋ τ） ． 由于 φ ～ （ｋ）＝ φ（ｋ） －φ ＾ （ｋ）为 φ（ ｋ）的估计误差， 当 ｋ 充 分 大 时， 可 保 证 ｜ φ ～ （ ｋ ） ｜ ＜ ｜ φ ＾ （ ｋ ） ｜ ， 即 λ＋φ ＾ （ｋ）φ ～ （ｋ） λ＋φ ＾ （ｋ） ２ ＜１．因此只需令 ０＜ｈ＜２ 就可得 ｌｉｍ ｋ→¥ ｙ０ － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ＝ ０． 即系统是收敛的．证毕． ３ 仿真试验与分析 为验证所提算法的有效性，选择如下的非线性 大时滞系统，其模型为［６］ ｙ（ｋ ＋ １） ＝ ｙ（ｋ）ｙ（ｋ － １） １ ＋ ｙ（ｋ） ２ ＋ ｙ（ｋ － １） ２ ＋ ｙ（ｋ － ２） ２ ＋ ｕ（ｋ － ９） ＋ １．１ｕ（ｋ － １０）． 在仿真中，ＩＰＳＯ 算法的参数设置如下：种群总 数为 ５， 惯性权重 ｗ ＝ ０．７２９ ８， 学习因子 ｃ１ ＝ ｃ２ ＝ １．４９６ ２，粒子向量的维数为 ６（对应于 θ１ ～ θ４ 、ｈ、λ ６ 个变量），最大迭代次数为 １０，微粒速度范围为 ·２５８· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷