第3期 李秀英，等：采用改进粒子群算法的非线性大时滞系统无模型控制 ·257. 进行估计（如最小二乘法），这一点是该模型可用的 0.8g 先决条件.当系统在设定值处于稳定状态时，φ(k) ------SGA ----PS0 事实上是y(k)关于u(k-1)的梯度（或是它的某种 0.6 -IPSO 近似)，故也可称之为伪导数.从理论上可以证明，很 蓝 大一类非线性系统都能在输入输出等价的意义下用 盛0.4 式(4)描述，因此模型(4)也称为泛模型.文献[6]将 0.2 泛模型推广到了时滞？≠0时的情况，并基于此模型 设计了无模型控制律，其中p(k)采用某种估计算法 ×102 0 0.4 0.81.2 1.6 2.0 而得到.文献[7]将标准PS0算法应用到φ(k)的估 迭代次数 计中，但是所设计的控制器只适用于时滞？=0时的 图3对测试函数f(x)的优化性能曲线 情况. Fig.3 The curve of optimization performance for f(x) 本文借鉴预测控制中的误差反馈校正思想，将 泛模型进行改进，即 从优化目标函数的收敛速度上看，对于3个基 y(k+T+1)=y(k+r)+ 准测试函数来说，PS0算法均高于PSO算法，并远 p(k)△u(k)+he(k+r). (5) 高于SGA算法；从求解3个基准测试函数的平均最 式中：(k)=y,(k)-y(k)是系统k时刻的输出误差， 优解上看，与PS0算法和SGA算法相比，PSO算法 h是误差修正系数. 均有所提高.因此，PS0算法有利于优化控制律中 对于非线性系统，特征参量P(k)是时变的，可 的末未知参数 以用一个AR模型来估计它，即 2无模型控制器设计 p(k)=01p(k-1)+02p(k-2)+…+ 0p(k-p)=ΦΘ (6) 2.1非线性时滞系统的动态线性化 式中：0=[68，…6，]”是系数向量，p是适当的阶数 考虑离散时间SISO非线性时滞动态系统： 2.2无模型控制器设计 y(k+1)=f(y(k),y(k-1),…,y(k-n,), 基于模型(5)，根据某个性能指标设计一个控 u(k-r),u(k-T-1),…, 制器，使得系统(3)的输出能够跟踪给定的参考输 u(k -t-n.)). (3) 人信号y,(k)于是，选取如下的二次型性能指标： 式中：(·)是任意非线性函数，y(k)为系统的输 出，u(k)表示系统的输入，T是时滞，n,与n。分别为 J(u(k))=(y,(k+T+1)-y(k+T+1)2+ 输出和输入的阶次 A(u(k)-u(k-1))2 (7) 对于非线性系统(3)，给出如下假设： 将式(5)代入式(7)，并且对u(k)求导，令导数 为零，可以得到如下的控制算法： 假设1系统(3)是输出可控的， 假设2系统(3)是广义Lipschitz的，即满足对 (k)=u(k-1)+9(k) 任意的k和△u(k-T),有△y(k+1)|≤ A+0(xG,(k+7+1)） b|△u(k-T)|,其中，b是常数，△u(k-r)=u(k-r）- y(k+r)-h(y,(k+r)-y(k+r))).(8) u(k-T-1),△y(k+1)=y(k+1)-y(k). 式中：(k)可以由式(6)估计得到. 引理16)对于满足假设1和假设2的非线性 在上面的控制律中共有p+2个未知参数，如果 时滞系统(3)，当u(k)≠u(k-1)即△u(k)≠0时， 将未知参数看成粒子向量，可以采用PS0算法进 一定存在一个伪导数P(k)满足Ip(k)I<b,使得系 行优化.于是关于控制器的设计问题可以转化为未 统(3)的动态模型可以线性化表示为 知参数的优化问题选取适应值函数为 y(k+T+1)=y(k+T)+p(k)△u(k).(4) f)=Σ(y.()-y(k)2+ 当r=0时，模型(4)即为文献[17]中所定义的 泛模型.文献[17]指出，在输入输出等价的意义下， 三()-u(k-1)月 对于T=0时的非线性系统(3)，可以描述为式(4) 控制器的结构如图4所示 的形式，其中p(k)称为特征参量，必须在线实时地图 ３ 对测试函数 ｆ ３（ｘ）的优化性能曲线 〛Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｆｏｒ ｆ３（ｘ） 从优化目标函数的收敛速度上看，对于 ３ 个基 准测试函数来说，ＩＰＳＯ 算法均高于 ＰＳＯ 算法，并远 高于 ＳＧＡ 算法；从求解 ３ 个基准测试函数的平均最 优解上看，与 ＰＳＯ 算法和 ＳＧＡ 算法相比，ＩＰＳＯ 算法 均有所提高．因此，ＩＰＳＯ 算法有利于优化控制律中 的未知参数． ２ 无模型控制器设计 ２．１ 非线性时滞系统的动态线性化 考虑离散时间 ＳＩＳＯ 非线性时滞动态系统： ｙ（ｋ ＋ １） ＝ ｆ（ｙ（ｋ），ｙ（ｋ － １），…，ｙ（ｋ － ｎｙ）， ｕ（ｋ － τ），ｕ（ｋ － τ － １），…， ｕ（ｋ － τ － ｎｕ ））． （３） 式中：ｆ（·） 是任意非线性函数，ｙ（ ｋ） 为系统的输 出，ｕ（ｋ）表示系统的输入，τ 是时滞，ｎｙ 与 ｎｕ 分别为 输出和输入的阶次． 对于非线性系统（３），给出如下假设： 假设 １ 系统（３）是输出可控的． 假设 ２ 系统（３）是广义 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 的，即满足对 任 意 的 ｋ 和 Δｕ （ ｋ － τ ）， 有 Δｙ（ｋ＋１） ≤ ｂ Δｕ（ｋ－τ） ，其中，ｂ 是常数，Δｕ（ ｋ－τ） ＝ ｕ（ ｋ－τ） － ｕ（ｋ－τ－１），Δｙ（ｋ＋１）＝ ｙ（ｋ＋１）－ｙ（ｋ）． 引理 １ ［６］ 对于满足假设 １ 和假设 ２ 的非线性 时滞系统（３），当 ｕ（ｋ）≠ｕ（ｋ－１）即 Δｕ（ｋ）≠０ 时， 一定存在一个伪导数 φ（ ｋ）满足 ｜ φ（ ｋ） ｜ ＜ｂ，使得系 统（３）的动态模型可以线性化表示为 ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ＝ ｙ（ｋ ＋ τ） ＋ φ（ｋ）Δｕ（ｋ）． （４） 当 τ ＝ ０ 时，模型（４）即为文献［１７］中所定义的 泛模型．文献［１７］指出，在输入输出等价的意义下， 对于 τ ＝ ０ 时的非线性系统（３），可以描述为式（４） 的形式，其中 φ（ｋ）称为特征参量，必须在线实时地 进行估计（如最小二乘法），这一点是该模型可用的 先决条件．当系统在设定值处于稳定状态时，φ（ ｋ） 事实上是 ｙ（ｋ）关于 ｕ（ｋ－１）的梯度（或是它的某种 近似），故也可称之为伪导数．从理论上可以证明，很 大一类非线性系统都能在输入输出等价的意义下用 式（４）描述，因此模型（４）也称为泛模型．文献［６］将 泛模型推广到了时滞 τ≠０ 时的情况，并基于此模型 设计了无模型控制律，其中 φ（ｋ）采用某种估计算法 而得到．文献［７］将标准 ＰＳＯ 算法应用到 φ（ｋ）的估 计中，但是所设计的控制器只适用于时滞 τ ＝ ０ 时的 情况． 本文借鉴预测控制中的误差反馈校正思想，将 泛模型进行改进，即 ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １） ＝ ｙ（ｋ ＋ τ） ＋ φ（ｋ）Δｕ（ｋ） ＋ ｈｅ（ｋ ＋ τ）． （５） 式中：ｅ（ｋ）＝ ｙｒ（ｋ）－ｙ（ｋ）是系统 ｋ 时刻的输出误差， ｈ 是误差修正系数． 对于非线性系统，特征参量 φ（ ｋ）是时变的，可 以用一个 ＡＲ 模型来估计它，即 φ ＾ （ｋ） ＝ θ１φ ＾ （ｋ － １） ＋ θ２φ ＾ （ｋ － ２） ＋ … ＋ θｐφ ＾ （ｋ － ｐ） ＝ Φ ＴΘ ． （６） 式中：Θ＝［θ１ θ２… θｐ］ Ｔ 是系数向量，ｐ 是适当的阶数． ２．２ 无模型控制器设计 基于模型（５），根据某个性能指标设计一个控 制器，使得系统（３）的输出能够跟踪给定的参考输 入信号 ｙｒ（ｋ）．于是，选取如下的二次型性能指标： Ｊ（ｕ（ｋ）） ＝ （ｙｒ（ｋ ＋ τ ＋ １） － ｙ（ｋ ＋ τ ＋ １）） ２ ＋ λ（ｕ（ｋ） － ｕ（ｋ － １）） ２ ． （７） 将式（５）代入式（７），并且对 ｕ（ｋ）求导，令导数 为零，可以得到如下的控制算法： ｕ（ｋ） ＝ ｕ（ｋ － １） ＋ φ ＾ （ｋ） λ ＋ φ ＾ （ｋ） ２ × （ｙｒ（ｋ ＋ τ ＋ １） － ｙ（ｋ ＋ τ） － ｈ（ｙｒ（ｋ ＋ τ） － ｙ（ｋ ＋ τ）））． （８） 式中：φ ＾ （ｋ）可以由式（６）估计得到． 在上面的控制律中共有 ｐ＋２ 个未知参数，如果 将未知参数看成粒子向量，可以采用 ＩＰＳＯ 算法进 行优化．于是关于控制器的设计问题可以转化为未 知参数的优化问题．选取适应值函数为 ｆ（ｚｉ） ＝ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ （ｙｒ（ｋ） － ｙ（ｋ）） ２ ＋ ∑ Ｎ ｋ ＝ １ （ｕ（ｋ） － ｕ（ｋ － １）） ２ ． 控制器的结构如图 ４ 所示． 第 ３ 期 李秀英，等：采用改进粒子群算法的非线性大时滞系统无模型控制 ·２５７·