d(xny)→d(x,y) 例4设X是任一点集,定义 d(x,y) vx,y∈X 容易验证(X,d)是度量空间.称此类空间为离散度量空间 此例说明对于任一点集X,可以在X上规定某种度量函数使之成为度量空间.但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题,因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数.下面是这方面的例子 命题2C[a,b]中的序列x依度量收敛于x等价于xn在[a,]上一致收敛于x 由CIa,b]中度量函数的定义直接得出 例5空间S.设(,E,)是有限测度空间,A(2)<∞,关于∑可测的函数全体记为 S.定义 d(x,y)= +x(t)-y( 将S中关于μ几乎处处相等的函数视为同一元,由定义直接验证知道(S,d)是度量空间 命题3S中函数序列依度量(6)收敛等价于依测度收敛 证明若xn,x∈S,x依测度收敛于x,则对于任何a>0 (0)-x(2a}=0 记E,()=x0)-x(o≥),则 d(rm, x)= +lx, (0-x(ol x()-x() ≤(En(0)+,() 由于以()<∞,对于事先给定的E>0,先取σ足够小使第二项小于,再取n足够大使第 项小于,则知d(x,x)→0d(x , y ) d(x, y) n n → ． 例 4 设 X 是任一点集，定义    ∀ ∈ ≠ = = x y X x y x y d x y , 1, , 0, , ( , ) ． （5） 容易验证(X , d) 是度量空间．称此类空间为离散度量空间． 此例说明对于任一点集 X ，可以在 X 上规定某种度量函数使之成为度量空间．但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题， 因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数．下面是这方面的例子． 命题 2 ] C[a,b 中的序列 n x 依度量收敛于 x 等价于 n x 在[a,b]上一致收敛于 x ． 由C[a,b]中度量函数的定义直接得出． 例 5 空间 S ．设(Ω,Σ ,µ) 是有限测度空间， µ(Ω) < ∞ ，关于Σ 可测的函数全体记为 S ．定义 µ Ω d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ∫ + − − = x t y t x t y t d x y ， x, y∈S （6） 将 S 中关于 µ 几乎处处相等的函数视为同一元．由定义直接验证知道(S, d) 是度量空间． 命题 3 S 中函数序列依度量（6）收敛等价于依测度收敛． 证明 若 n x ， x ∈ S ， n x 依测度收敛于 x ，则对于任何σ > 0， lim { } , ( ) − ( ) ≥ = 0 →∞ µ t xn t x t σ n ． 记 En (σ ) = { } t, xn (t) − x(t) ≥ σ ， 则 µ µ σ Ω σ d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ∫ ( ) ∫ \ ( ) + − − + + − − = n En n n E n n n x t x t x t x t x t x t x t x t d x x ( ) 1 ( ( )) µ Ω σ σ µ σ + ≤ En + ． 由于 µ(Ω) < ∞ ，对于事先给定的ε > 0 ，先取σ 足够小使第二项小于 2 ε ，再取 n 足够大使第 一项小于 2 ε ，则知 d(x , x) → 0 n ．