反之,对于每个a>0,由于 (E()≤ d≤d(xn,x) E.o1+x()-x() 所以当d(xn,x)→0时,im(En(σ)=0,这说明xn依测度收敛于x 思考题 空间s中依度量d收敛等价于依坐标收敛. 2、证明当d是x上的度量时,mn(d,l与、4 也是 3、对于例4中定义的离散度量空间,若x∈X,0<E≤1,r>1,写出O(x,E)=? O(x,r)=? 个线性空间上未必定义有度量.反过来一个度量空间也未必是线性的.同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间,假若加法和数乘关于此度量是连续的.即当在X中, xn→x,yn→y,在标量域φ中λ→>λ时 x+y→x+y, →Ax 定义3设(X,d)是度量空间. (1)若x∈X,r>0,称 O(xo, r)=xeX; d(x, xo)<r) S(x,r)={x∈x;d(x,x)≤r}, 分别是以x为中心,r为半径的球和闭球. (2)集合BcX称为开集,若x∈B,存在r>0,使得O(x,r)cB (3)包含x的任一开集称为x的邻域 (4)集合EcX称为闭集,若X\E为开集 引理球O(xnr)(r>0)是开集 证明对于任意的y∈O(x,r),取r=r-d(y,x), 则r>0,此时v∈O(yr (=,x0)≤d(=,y)+d(y,x)<r+d(y,x)=r, 故z∈O(x,r).z是任意的,所以O(,r)cO(x0,r) 由定义知道O(x,)是开集反之，对于每个σ > 0，由于 d ( , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 ( ) d x x x t x t x t x t E n E n n n n ≤ + − − ≤ + ∫ µ σ µ σ σ σ ， 所以当 d(xn , x) → 0 时， lim ( ( )) = 0 →∞ µ n σ n E ，这说明 n x 依测度收敛于 x ． 思考题 1、 空间 s 中依度量 d 收敛等价于依坐标收敛． 2、 证明当 d 是 X 上的度量时， min{ ,1} d 与 1 d + d 也是。 3、 对于例 4 中定义的离散度量空间，若 x ∈ X , 0 1, 1 < ε ≤ > r ，写出 O x(, ) ? ε = Oxr (,) ? = 一个线性空间上未必定义有度量．反过来一个度量空间也未必是线性的．同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间，假若加法和数乘关于此度量是连续的．即当在 X 中， x x n → ， y y n → ，在标量域Φ 中λn → λ 时 x y x y n + n → + ， x x λn n → λ ． 定义 3 设(X , d) 是度量空间． （1）若 x0 ∈ X ， r > 0 ，称 O(x ,r) = { } x ∈ X;d(x, x ) < r 0 0 ， S(x ,r) = { } x∈ X;d(x, x ) ≤ r 0 0 ， 分别是以 0 x 为中心， r 为半径的球和闭球． （2）集合 B ⊂ X 称为开集，若∀x∈ B ，存在 rx > 0，使得O(x0 ,r) ⊂ B ． （3）包含 x 的任一开集称为 x 的邻域． （4）集合 E ⊂ X 称为闭集，若 X \ E 为开集． 引理 球 ( , ) ( 0) O x0 r r > 是开集． 证明 对于任意的 ( , ) 0 y∈O x r ，取 ( , )0 r′ = r − d y x ， 则 r′ > 0 ，此时∀z ∈O( y,r′) ， d(z, x ) ≤ d(z, y) + d( y, x ) < r′ + d( y, x ) = r 0 0 0 ， 故 ( , ) 0 z ∈O x r ． z 是任意的，所以 ( , ) ( , ) 0 O y r′ ⊂ O x r ． 由定义知道 ( , ) 0 O x r 是开集．