高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 为p,则 COS=- 1×2+(-4)×(-2)+1×(-11=1=V2 12+(-42+12.V22+(-22+(-102√22 所以p=平 4 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹 角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为交 设直线的方向向量s=(m,),平面的法线向量为=(A,B),直线与平面的夹角为p, 那么p号-（心，m训，因此sincos(s,nm训.按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 Am+Bn+Cp sin=B2C2m+n+p 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面 垂直相当于 A_B_C m n p 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直， 所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+-Bn+CD-0 设直线L的方向向量为(mn,),平面Π的法线向量为(ABO,则 LΠ÷4=B_C m n p L/Π÷AHB+Cp=0. 例3 求过点(1，-2,4)且与平面2x-34z-4=0垂直的直线的方程. 解平面的法线向量(2，-3,1)可以作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为 x-1=y+2-2-4 2-31 五、杂例 例4求与两平面x-42=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程. 解平面x-4=3和2xy-5=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s, ii k 因为s=(位-4k)×(2i-j 0-4 =-(4i+3j+k), 2-1-5 所以所求直线的方程为 6