右解的判别条件 设线性方程组为 a+a2+.+am。=b, a2+a222+.+a2nxn=b2, a+a22+.+amxn=b 引入向量 a . 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 xa+%3+.+xan=B. (3) 显然，线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量B可以表成向量组4,42，an的线性组合.用秩的概 念，方程组()有解的条件可以叙述如下 线性方程组有解判别定理线性方程组()有解的充分必要条件为它的系数矩阵 a1a2.am a1a2.an 与增广矩阵 a1a2.aw6 4= 44.小小444. aa2.amb 有相同的秩 证明先证必要性，设线性方程组(1)有解，就是说。B可以经向量组4,4，.，an线性表出.由此 立即推出，向量组a,4,an与向量组a,4,.,an,B等价，因而有相同的秩这两个向量组分别是矩 阵A与A的列向量组因此，矩阵A与A有相同的秩 再证充分性设矩阵A与A有相同的秩，就是说，它们的列向量组4,4，an与a,a,.,a,B有 相同的秩，令它们的秩为r.a,42,an中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设a,42,.,a,是 它的一个极大线性无关组.显然a,a2,.,a也是向量组a,a2,.,an,B的一个极大线性无关组，因此 有解的判别条件. 设线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = (1) 引入向量 11 21 1 s1 a a a        =       , 12 22 2 2 , , s a a a        =         1 2 n n n sn a a a        =       , 1 2 , s b b b        =       (2) 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 1 1 2 2 n n x x x     + + + = . (3) 显然,线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量  可以表成向量组 1 2 , , , n a a a 的线性组合.用秩的概 念,方程组(1)有解的条件可以叙述如下: 线性方程组有解判别定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       与增广矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b       =       有相同的秩 证明 先证必要性,设线性方程组(1)有解,就是说,  可以经向量组 1 2 , , , n a a a 线性表出.由此 立即推出,向量组 1 2 , , , n a a a 与向量组 1 2 , , , , n a a a  等价,因而有相同的秩.这两个向量组分别是矩 阵 A 与 A 的列向量组.因此,矩阵 A 与 A 有相同的秩. 再证充分性.设矩阵 A 与 A 有相同的秩,就是说,它们的列向量组 1 2 , , , n a a a 与 1 2 , , , , n a a a  有 相同的秩,令它们的秩为 1 2 . , , , n r a a a 中的极大线性无关组是由 r 个向量组成,无妨设 1 2 , , , r a a a 是 它的一个极大线性无关组.显然 1 2 , , , r a a a 也是向量组 1 2 , , , , n a a a  的一个极大线性无关组,因此