中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 计数过程,它最早于1837年由法国数学家 Poission引入。 定义:一随机计数过程{N(t),t≥0称为时齐(齐次) Poission 过程,若满足: ) (b)独立增量过程,即任取0<t<t2<…<Ln,n∈N, (t1),N(t2)-N(1)…,N(tn)-N(tn) 相互独立; (c)增量平稳性,即: V,t>0,n≥0,P{N(s+1)-N(1)=n}=P{N()=n} (d)对任意t>0,和充分小的△t>0,有: P{N(t+△t)-N(t)=l}=A△t+o(△t) PN(+△)-N()≥2}=0(△) 其中λ>0(称为强度常数)。 定理:若{N(1)1≥0为时齐 Poission过程,则vs,t>0,有: P{N(S+1)-N(s)=k}=P{N(1)=k} () e-,k∈N k 即N(s+t)-N(s)是参数为At的 Poission分布。 证明:由增量平稳性,记: P(1)=P{N()=n}=P(N(s+1)-N(s)=n} (I)n=0情形:因为 N(+h)=0}={N()=0,N(t+h)-N(t)=0},h>0, 我们有:中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 计数过程，它最早于 1837 年由法国数学家 Poission 引入。 定义：一随机计数过程 {N(t), t  0} 称为时齐（齐次）Poission 过程，若满足： （a） N(0) = 0 ； （b）独立增量过程，即任取 0  t 1  t 2  t n , n N ， ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 − 1 n − n−1 N t N t N t  N t N t 相互独立； （c）增量平稳性，即： s,t  0, n  0, P{N(s + t) − N(t) = n}= P{N(t) = n} （d）对任意 t  0 ，和充分小的 t  0 ，有：    +  −  =  +  − = =  +  { ( ) ( ) 2} ( ) { ( ) ( ) 1} ( ) P N t t N t t P N t t N t t t    其中   0 （称为强度常数）。 定理：若 {N(t), t  0} 为时齐 Poission 过程，则 s,t  0 ，有： e k N k t P N s t N s k P N t k t k + − = = = =  − , ! ( ) { ( ) ( ) } { ( ) }   即 N(s + t) − N(s) 是参数为 t 的 Poission 分布。 证明：由增量平稳性，记： P (t) P{N(t) n} P{N(s t) N(s) n} n = = = + − = （I） n = 0 情形：因为 {N(t + h) = 0}={N(t) = 0, N(t + h) − N(t) = 0}, h  0 ， 我们有：