,1160 北京科技大学学报 第30卷 表1轧机振动时各测试参数的主要频率 Table 1 Main frequencies of testing data during vibrating 测试参数 上接轴扭矩 上接轴弯矩 下接轴扭矩 下接轴弯矩 颜率/k 41~43 1~1.25,3843 40.5~42.5 1~1.25,41-44 综上所述，当轧机出现振动时，似乎出现弯扭耦 它的x轴与水平方向、y轴与竖直方向的夹角均为 合振动现象.因此，需要从理论上给出科学的解释， α（图5）.重力作用在万向接轴上为均布载荷，设单 2振动耦合微分方程的建立 位长度上的重力为q(x),通过微元轴段力和力矩 的平衡关系来建立弯扭振动耦合微分方程). 2.1微元轴段扭转振动微分方程 对万向接轴按一般微元轴段处理，考虑质量偏 心、自重、接轴倾角以及阻尼的影响，建立弯扭耦合 振动方程，由于接轴转速较慢，所以不计陀螺力矩 (x) q(x)sinadx 取接轴上任意等直径的一般微元轴段作为研究对 f(x) 象，建立直角坐标系oxyz,坐标原点取在变形前的 q(x)dx 微元轴段中心，x轴与万向接轴未发生弯曲变形时 q(x)cosadx 的轴线重合，指向万向接轴一端，y轴和z轴分别沿 图5考虑倾角微元轴段的受力图 垂直和水平方向（图3） Fig.5 Forces of the micro segment considering the angle of the spin- dle 根据理论力学8)]，刚体对定轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上的主动力系对该轴 的力矩，该力矩包括微元轴段扭矩M町、阻力矩 M2,以及由重力和偏心所产生的惯性力对应的力矩 M3,各力矩如图6所示，并计算如下 图3连续分布质量万向接轴坐标系 Fig.3 Coordinate system of the spindle with continuous distributing M.Q,ds M.+oMe dr dx g(x)sin adxecoso mass 由于重力作用，微元轴段的几何中心0不再与 x轴重合（图4），微元的质量中心在c点，与几何中 ,dx M,+ax 心相距为e,假设轴为各向同性，支承均为刚性，变 -M2 形符合平面变形的假设，质量偏心距ε相对于轴段 M 是固定的，设轴旋转的角速度为2，t=0时刻o'c 0.dx M 与y轴正方向的夹角为中，则t时刻c点相对于o'点 M+dx g(x)sinadresin 的转角为： 9=中+nt十0 (1) 图6微元轴段的所受力矩图 Fig.6 Moments of the micro segment 式中，6为微元轴段的扭转角 (1)微元轴段所受扭矩 aMx Mi=M,+asdx-M.= a Mx a20 2sdx--Gle agidx (2) 式中，Mx为截面的内扭矩，依据材料力学Mx= 图4微元轴段横截面示意图 Fig.4 Cross section of the micro segment G,号是：G为村料的剪切模量：为酸面对形心的 极惯性矩 取微元轴段dx,由于万向接轴存在倾角α，即 (2)微元轴段阻力矩表1 轧机振动时各测试参数的主要频率 Table1 Main frequencies of testing data during vibrating 测试参数 上接轴扭矩 上接轴弯矩 下接轴扭矩 下接轴弯矩 频率／Hz 41～43 1～1∙25‚38～43 40∙5～42∙5 1～1∙25‚41～44 综上所述‚当轧机出现振动时‚似乎出现弯扭耦 合振动现象．因此‚需要从理论上给出科学的解释． 2 振动耦合微分方程的建立 2∙1 微元轴段扭转振动微分方程 对万向接轴按一般微元轴段处理‚考虑质量偏 心、自重、接轴倾角以及阻尼的影响‚建立弯扭耦合 振动方程‚由于接轴转速较慢‚所以不计陀螺力矩． 取接轴上任意等直径的一般微元轴段作为研究对 象‚建立直角坐标系 oxyz ‚坐标原点取在变形前的 微元轴段中心‚x 轴与万向接轴未发生弯曲变形时 的轴线重合‚指向万向接轴一端‚y 轴和 z 轴分别沿 垂直和水平方向（图3）． 图3 连续分布质量万向接轴坐标系 Fig．3 Coordinate system of the spindle with continuous distributing mass 由于重力作用‚微元轴段的几何中心 o′不再与 x 轴重合（图4）‚微元的质量中心在 c 点‚与几何中 心相距为 e．假设轴为各向同性‚支承均为刚性‚变 形符合平面变形的假设‚质量偏心距 e 相对于轴段 是固定的．设轴旋转的角速度为 Ω‚t＝0时刻 o′c 与 y 轴正方向的夹角为●‚则 t 时刻 c 点相对于 o′点 的转角为： φ＝●＋Ωt＋θ （1） 式中‚θ为微元轴段的扭转角． 图4 微元轴段横截面示意图 Fig．4 Cross section of the micro segment 取微元轴段 d x‚由于万向接轴存在倾角 α‚即 它的 x 轴与水平方向、y 轴与竖直方向的夹角均为 α（图5）．重力作用在万向接轴上为均布载荷‚设单 位长度上的重力为 q（ x ）‚通过微元轴段力和力矩 的平衡关系来建立弯扭振动耦合微分方程［7］． 图5 考虑倾角微元轴段的受力图 Fig．5 Forces of the micro segment considering the angle of the spin￾dle 根据理论力学［8］‚刚体对定轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上的主动力系对该轴 的力矩．该力矩包括微元轴段扭矩 M1 ［9］、阻力矩 M2‚以及由重力和偏心所产生的惯性力对应的力矩 M3．各力矩如图6所示‚并计算如下． 图6 微元轴段的所受力矩图 Fig．6 Moments of the micro segment （1） 微元轴段所受扭矩． M1＝ Mx＋ ∂Mx ∂x d x— Mx＝ ∂Mx ∂x d x＝— GIP ∂2θ ∂x 2d x （2） 式中‚Mx 为截面的内扭矩‚依据材料力学 Mx ＝ GIP ∂θ ∂x ；G 为材料的剪切模量；IP 为截面对形心的 极惯性矩． （2）微元轴段阻力矩． ·1160· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷