第10期 闫晓强等：CSP轧机万向接轴弯扭耦合振动 ,1161, ∂9， M2=cidx (3) 式中，Q,为微元轴段所受单位剪力，“为单位轴向 长度上弯曲振动阻尼系数， 式中，c为单位轴向长度旋转阻尼系数， (3)微元轴段重力和惯性力产生的力矩，由图4 Q 可得质心c的坐标： ye=y+ecos (4) ze=z十esin9 (5) aQ,dx Q,+0x 式中，e为偏心距 以上两式对时间求二阶导数为： ￥=g-29in eising cos (6) Q:+x tq(x)dx 2z_2z+29 ∂92 a-32+ea2cos9-3月 sin (7) 图7微元轴段力学模型 由于质量偏心所产生的惯性力为： Fig.7 Mechanical model of the micro segment (x)-eAfdx (8) 由微元轴段对与z轴平行的形心轴转动的力 e)-a 矩方程，可得到y方向剪力Q,的表达式，微元轴段 (9) 对形心轴的力矩包括微元轴段截面所受弯矩M:' 式中，P为轴的密度，A为轴段的截面面积 (根据材料力学可知M:=E:兰，a为微元截面 重力与惯性力所产生的力矩之和为： 的直径惯性矩)，由剪力而产生的弯矩Q,dx,以及 M3=[f,(x)+g(x)dxcos a]esin -f(x)ecos 重力的分力而产生的力矩，因此力矩方程为： (10) 0M2, 将式(6)一(9)代入式(10)中并化简得： M.-M.+x dx+dx- w-[eH3品ans-ms ∂2x q(x)sin adxecos=0 (15) 由式(15)可以解出剪力Q,: e4e手+g(aoon时as (11) Q-Ela(x)esin ocos? (16) 由刚体定轴转动微分方程可以得到： 将式(6)和(16)带入式(14)即可得到y方向的 B3n-M1-M2十Ms ∂29 (12) 振动微分方程： eu叶o- 「29 式中，p=Idx为微元轴段对形心的转动惯量 PA 将式(2)、(3)和(11)代入式(12)可得： 《+A-6 ay_dg(x a20 Ela ax dx esin acos ∂9. PAe sin cos g(s)esin号n9-g(x)amsa+r-0(17)） 2.3微元轴段z方向振动微分方程 a9二0 (x)ecosasin (13) 仍以质心c为研究对象，与y方向相比，沿z 方向没有重力，但存在由接轴倾角α而产生的附加 2.2微元轴段y方向振动微分方程 弯矩为： 微元轴段y、z两个方向的受力如图7所示. ∂20 以微元轴段质心c为研究对象，根据牛顿第二 Mr-Mitana-Gly agidxtana (18) 定律，y方向的动力学方程为： 其中，各作用力的具体求解与y方向分析一致，最 PAdx at2 后得到z方向的振动微分方程： 「a29 ∂g27 +00, 0,+2d-0,+gr- PA +Ae 2cos at sin ∂30 (14) adaxesin asin Gle 2xitana Ela dxM2＝c ∂φ ∂t d x （3） 式中‚c 为单位轴向长度旋转阻尼系数． （3）微元轴段重力和惯性力产生的力矩．由图4 可得质心 c 的坐标： yc＝y＋ecosφ （4） z c＝z ＋esinφ （5） 式中‚e 为偏心距． 以上两式对时间求二阶导数为： ∂2 yc ∂t 2 ＝ ∂2 y ∂t 2—e ∂2φ ∂t 2sinφ—e ∂φ ∂t 2 cosφ （6） ∂2 z c ∂t 2 ＝ ∂2 z ∂t 2＋e ∂2φ ∂t 2cosφ—e ∂φ ∂t 2 sinφ （7） 由于质量偏心所产生的惯性力为： f y（ x）＝ρA ∂2 yc ∂t 2d x （8） f z （ x）＝ρA ∂2 z c ∂t 2d x （9） 式中‚ρ为轴的密度‚A 为轴段的截面面积． 重力与惯性力所产生的力矩之和为： M3＝［ f y（ x）＋q（ x）d xcosα］ esinφ— f z （ x） ecosφ （10） 将式（6）～（9）代入式（10）中并化简得： M3＝ ρAe ∂2 y ∂t 2sinφ— ∂2 z ∂t 2cosφ — ρAe 2∂2φ ∂t 2＋q（ x） ecosαsinφ d x （11） 由刚体定轴转动微分方程可以得到： JP ∂2φ ∂t 2＝ M1— M2＋ M3 （12） 式中‚JP＝ρIPd x 为微元轴段对形心的转动惯量． 将式（2）、（3）和（11）代入式（12）可得： ρ（ IP＋ Ae 2） ∂2φ ∂t 2— GIP ∂2θ ∂x 2— ρAe ∂2 y ∂t 2sinφ— ∂2 z ∂t 2cosφ — q（ x） ecosαsinφ＋c ∂φ ∂t ＝0 （13） 2∙2 微元轴段 y 方向振动微分方程 微元轴段 y、z 两个方向的受力如图7所示． 以微元轴段质心 c 为研究对象‚根据牛顿第二 定律‚y 方向的动力学方程为： ρAd x ∂2 yc ∂t 2 ＝ Qy＋ ∂Qy ∂x d x — Qy＋q（ x）cosαd x—μ ∂y ∂t d x （14） 式中‚Qy 为微元轴段所受单位剪力‚μ为单位轴向 长度上弯曲振动阻尼系数． 图7 微元轴段力学模型 Fig．7 Mechanical model of the micro segment 由微元轴段对与 z 轴平行的形心轴转动的力 矩方程‚可得到 y 方向剪力 Qy 的表达式．微元轴段 对形心轴的力矩包括微元轴段截面所受弯矩 Mz′ （根据材料力学可知 Mz′＝ EId ∂2 y ∂x 2‚Id 为微元截面 的直径惯性矩）‚由剪力而产生的弯矩 Qyd x‚以及 重力的分力而产生的力矩．因此力矩方程为： Mz′— Mz′＋ ∂Mz′ ∂x d x ＋ Qyd x— q（ x）sinαd xecosφ＝0 （15） 由式（15）可以解出剪力 Qy： Qy＝ EId ∂3 y ∂x 3＋q（ x） esinαcosφ （16） 将式（6）和（16）带入式（14）即可得到 y 方向的 振动微分方程： ρA ∂2 y ∂t 2—ρAe ∂2φ ∂t 2sinφ＋ ∂φ ∂t 2 cosφ — EId ∂4 y ∂x 4— d q（ x） d x esinαcosφ＋ q（ x） esinα ∂φ ∂x sinφ—q（ x）cosα＋μ ∂y ∂t ＝0 （17） 2∙3 微元轴段 z 方向振动微分方程 仍以质心 c 为研究对象‚与 y 方向相比‚沿 z 方向没有重力‚但存在由接轴倾角 α而产生的附加 弯矩为： MF＝ M1tanα＝ GIp ∂2θ ∂x 2d xtanα （18） 其中‚各作用力的具体求解与 y 方向分析一致‚最 后得到 z 方向的振动微分方程： ρA ∂2 z ∂t 2＋ρAe ∂2φ ∂t 2cosφ— ∂φ ∂t 2 sinφ ＋ GIP ∂3θ ∂x 3tanα— EId ∂4 z ∂x 4— d q（ x） d x esinαsinφ— 第10期 闫晓强等： CSP 轧机万向接轴弯扭耦合振动 ·1161·