10 高师理科学刊 第32卷 @+6:若函数f是[a,)上的连续调和凹函数，则 -1 h dx 2 2 b1-a1Jax2f(x) +b1 (f(a)+(f(b) 2 证明由题设条件和定理可知，函数()= 是[0，]上的凹函数，因此有p)在 f-+a-b-） 区间0止上的damnl型不等式：(0生）p0a≥e0o0 2 注盒到0=00向宁之◆非+6-6.则r=0 bdx,因此 2 a-1+b-1 -1 rdr_≥a》'+fb) b--aTJax2f(x)- 由证明过程可知，当函数f(x)是[a,b]上的连续调和凹函数时，证明中的不等号均反向，故命题成立. 1 注 2 -1一「°dr≥@'+U6是关于调和凸函数f在a,1上的 b1-a可Jax2fx) 2 (a1+b- 一个Hadamard型不等式，与文献4给出的关于r-,0-凸函数的Hadamard型不等式中取r=-I的结果完全 致 例2设f(x)是定义在IsR+上的正值函数，且f(x)在I上二阶可导，则f(x)在I上为调和凸（凹） 函数的充要条件是：对任意xeI,有x2f'(x)2-f(x)f"(x-2f(x)f'(x)≤020) 证明仅证f(x)是I上的对数凸函数的情形，同理可证f(x)是对数凹函数的情形 a+0-x灯，则xe1.令p0= 1 对于任意x1,x2∈I,1∈0，刂，令x= f+-x） (4e0..则po-'-k国.o0--eror2-/rk-2rex以 (f(x)2 () 注意到f)是定义在IcR*上的正值函数，显然，o")≤0等价于2f(x)-fx)f"(x) 2f(x)f"(x)≤0.因为f(x)是I上的调和凸函数等价于：对于任意x,x2∈I,函数p)=lnf(x1+(1-)x2) 是[0，上的凹函数，因此等价于p"()≤0，即2(f'(x)-f(x)f"(x)水-2f(x)f"(x)≤0. 所以，f)为I上调和凸函数的充要条件是：对任意x∈I,有x2f"(x)-fx)f(x)-2fx)f"(x)≤ 0. 参考文献： [山吴善和.调和凸函数与琴生型不等式).四川师范大学学报：自然科学版，2004,27(4)：382-386 [2]张天字，荷花，冀爱萍.关于调和凸函数的一些性质内蒙古民族大学学报：自然科学版，2006,21(4)：361-363 [3)]宋振云.调和凸函数的调和平均型Hadamard不等式.湖北职业技术学院学报，2011,14(1)：105-108 [4]邓勇平，吴善和.Hadamard型不等式的若干推广U.贵州师范大学学报：自然科学版，2007,25(1)：63-67 [⑤]宋振云.关于调和凸函数的积分型Jensen不等式).湖北职业技术学院学报，2012,15(1)：101-104 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net10 高 师 理 科 学 刊 第 32 卷    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b ；若函数 f (x) 是 [a, b] 上的连续调和凹函数，则                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b . 证明 由题设条件和定理可知，函数      1 1 1 1 1 ( )        f b t a b  t 是[0, 1]上的凹函数，因此有(t) 在 区间[0, 1]上的 Hadamard 型不等式： 2 (0) (1) ( )d 2 0 1 1 0                t t ． 注意到 f   b 1 (0)  ， f   a 1 (1)  ，         2 0 1         1 1 2 1 a b f ，令    1 1 1 1     x  b  t a  b ，则t  0 时， x  b ，t 1时，x  a ，所以                     b a x f x x b a t f b t a b t t 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 ( ) 1 d d 1 ( )d ，因此         1 1 2 1 a b f       b a x f x x b a 1 1 2 ( ) 1 d    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b . 由证明过程可知，当函数 f (x) 是[a, b] 上的连续调和凹函数时，证明中的不等号均反向，故命题成立. 注                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b 是关于调和凸函数 f (x) 在[a, b] 上的 一个 Hadamard 型不等式，与文献[4]给出的关于 r(,0)  凸函数的 Hadamard 型不等式中取 r  1的结果完全 一致. 例 2 设 f (x) 是定义在  I  R 上的正值函数，且 f (x) 在 I 上二阶可导，则 f (x) 在 I 上为调和凸（凹） 函数的充要条件是：对任意 x I ，有     2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0( 0) 2 x f  x  f x f  x  f x f  x   ． 证明 仅证 f (x) 是 I 上的对数凸函数的情形，同理可证 f (x) 是对数凹函数的情形． 对于任意 x x  I 1 2 , ， t [0, 1] ， 令 1 2 1 1 (1 ) 1      tx t x x ， 则 x I ．令      1 1 2 1 1 1 1 1 ( )        f x t x x  t （t [0, 1] ），则    2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) f x x x x f x t        ，         2  ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2 1 1 f x f x f x x f x f x f x x x x t            ． 注意到 f (x) 是定义在  I  R 上的正值函数，显然， (t)  0 等价于   2  f (x)  f (x) f (x) x  2 2 f (x) f (x)  0 ．因为 f (x) 是 I 上的调和凸函数等价于：对于任意 x x  I 1 2 , ，函数   1 2 (t)  ln f tx  (1  t)x 是[0, 1]上的凹函数，因此等价于(t)  0 ，即2  f (x)  f (x) f (x)x  2 2 f (x) f (x)  0 ． 所以， f (x) 为 I 上调和凸函数的充要条件是：对任意 x I ，有   2 ( )  ( ) ( ) 2 ( ) ( )  2 x f x f x f x f x f x 0 . 参考文献： [1] 吴善和．调和凸函数与琴生型不等式[J]．四川师范大学学报：自然科学版，2004，27（4）：382-386 [2] 张天宇，荷花，冀爱萍．关于调和凸函数的一些性质[J]．内蒙古民族大学学报：自然科学版，2006，21（4）：361-363 [3] 宋振云．调和凸函数的调和平均型 Hadamard 不等式[J]．湖北职业技术学院学报，2011，14（1）：105-108 [4] 邓勇平，吴善和．Hadamard 型不等式的若干推广[J]．贵州师范大学学报：自然科学版，2007，25（1）：63-67 [5] 宋振云．关于调和凸函数的积分型 Jensen 不等式[J]．湖北职业技术学院学报，2012，15（1）：101-104