第5期 陈少元：调和凸函数的一个充要条件及其应用 9 2主要结果及证明 定理设f(x)是定义在区间I三R上的正值函数，则f(x)为I上的调和凸（凹）函数的充要条件是： 对于任意x1,x2∈1，函数)= 是0，]上的凹（凸）函数 f+-x5 证明仅证f(x)为调和凸函数的情形，同样的方法可证明f(x)为调和凹函数的情形. 充分性.假设对于任意x1,x2∈I,函数()= 是0，]上的凹函数.因为(0)= f+k-x） 0所以 1 p(t)=p(t×1+(1-)×0)≥t01)+(1- +-x）f+k-x） t0p(0)= +-=s》+-U,》 f(x)f(x2) 注意到f(x)是区间I∈R+上的正值函数， 1 x+(1-0x2 厂广+-W,厂厅，所以 是1上的调和凸函数. 必要性.设f(x)是I上的调和凸函数. 1 对于任意x,x2∈1,41,12∈0，刂，由调和凸集的定义可知， +0-4e1, g+1-网e1.因此.存在X,名，∈1，使得X 1 1 4+0-4,X,= 12x+1-2)x 1 所以对于任意a∈0，)，有 +1-a☒xe1. 因为p()= 所以，对于任意11，t2∈[0，刂及a∈[0,1刂，有p(41+(1-a)2)= f+-x） /水+m+-a-f+,-x》+as+-月-k+-x'） fx2+aK1-x2）fx+1-a)xz】 因为函数了)是1上的调和凸函数，所以xX,+-aX /,》'+-aK,》, 同时注意到f(x)是区间IcR+上的正值函数，因此p(a4,+(1-a)2)= 1-a ≥afx)+1-a)UX2)'= a f2x+1-12)x）fx+1-a)x2） flx+(1-)x5） 1-a =a06,)+(1-a)p(2）,即对于任意x,x2∈1，函数 f+4k-）f+,k-x） p(1)= 是[0，]上的凹函数 证毕 f+-） 3应用举例 例1设函数f(x)是[a,b]上的连续调和凸函数，则 2 a1+b-1 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第５期 陈少元：调和凸函数的一个充要条件及其应用 9 2 主要结果及证明 定理 设 f (x) 是定义在区间  I  R 上的正值函数，则 f (x) 为 I 上的调和凸（凹）函数的充要条件是： 对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹（凸）函数. 证明 仅证 f (x) 为调和凸函数的情形，同样的方法可证明 f (x) 为调和凹函数的情形. 充分性．假设对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹函数．因为(0)    2 1 f x ，   1 1 (1) f x   ，所以                              ( ) ( 1 (1 ) 0) (1) (1 1 (1 ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1  t  t t t f tx t x f x t x x            1 2 1 1 1 2 (1 ) 1 ) (0)         t f x t f x f x t f x t t  ． 注意到 f (x) 是区间  I  R 上的正值函数，        1 2 1 1 1 2 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1               tx   t x t f x t f x f ，所以 f (x) 是 I 上的调和凸函数. 必要性．设 f (x) 是 I 上的调和凸函数. 对于任意 x x  I 1 2 , ， 1t ， [0, 1] t 2  ，由调和凸集的定义可知， I t x t x     1 1 2 1 1 1 (1 ) 1 ， I t x t x     1 2 2 1 2 1 (1 ) 1 ．因此，存在 X X  I 1 2 , ，使得 1 1 2 1 1 1 1 (1 ) 1      t x t x X ， 1 2 2 1 2 1 2 (1 ) 1      t x t x X ． 所以对于任意 [0, 1]，有 I X X  1   2 (1 ) 1   ． 因为      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t ，所以，对于任意 1t ， [0, 1] t2  及 [0, 1]，有  t1  (1)t2                                                     1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 1 f x t  t x x f x t x x  x t x x x t x x           1 1 2 1 2 1 2 (1 ) 1 1      f X  X  X f X  X ．因为函数 f (x) 是 I 上的调和凸函数，所以        1   2 (1 ) 1 X X f         1 2 1 1 (1 ) 1    f X   f X ，同时注意到 f (x) 是区间  I  R 上的正值函数，因此  t 1  (1)t2                                     1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 f t x t x f X f X f t x t x f X X                   1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 (1 ) 1 t t f x t x x f x t x x                       ，即对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹函数. 证毕． 3 应用举例 例 1 设函数 f (x) 是 [a, b] 上的连续调和凸函数，则                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1