dz 2 dz (p=n时为1,其余为0) 由于f(z)在C内不一定解析,故 性质 罗朗级数的和函数在圆环域R≮〓-0kR2内解析,可逐项求导,逐项积分(对圆环域内 任一有向曲线)。 同一环域内的罗朗级数可进行加,减,乘运算 R1=0时,042-20kR2为=0的去心领域, R2=∞且0=0时,R142-=0k∞为点∞的领域 直接求C较繁,一般用已知函数的泰勒展开式及幂级数的运算性质求罗朗级数 例:求f()=e在本>0内的罗朗级数 解:令5=↓,则 e=1+5+ 2tn5"+…(5k+∞) 故e==1+-+ n+…(-卜0) 例:将函数/()=(2-1×-2)再0处展开为罗明级数 解:因f(z)有俩个奇点:z=1何z2,故有3个以z=0为中心的圆环域。 2k1,1<2,和本2 当本<1时,有 f(=) -∑()+∑p n C n P n C p P C z z dz i C dz z z f z i C =        − =   − =    + =− + − + 1 0 1 0 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 1   （p=n 时为 1，其余为 0） 由于 f(z)在 C 内不一定解析，故 ! ( ) 0 ( ) n f z C n n  性质。 罗朗级数的和函数在圆环域 1 0 2 R | z − z | R 内解析，可逐项求导，逐项积分（对圆环域内 任一有向曲线）。 同一环域内的罗朗级数可进行加，减，乘运算。 R1 = 0 时， 0 2 0 | z − z | R 为 0 z 的去心领域， R2 =  且 0 z =0 时， R1 | z − z0 |  为点  的领域。 直接求 Cn 较繁，一般用已知函数的泰勒展开式及幂级数的运算性质求罗朗级数。 例：求 z f z e 1 ( ) = 在|z|>0 内的罗朗级数。 解：令 z 1  = ，则 (| | ) ! 1 2! 1 2 = + + + +  +   +     n  n e 故 (| | 0) ! 1 2! 1 1 1 2 1 = + + + + + z  z z n z e n z   例：将函数 ( 1)( 2) 1 ( ) − − = z z f z 再 z=0 处展开为罗朗级数。 解：因 f(z)有俩个奇点：z=1 何 z=2,故有 3 个以 z=0 为中心的圆环域。 |z|<1,1<|z|<2,和|z|>2. 当|z|<1 时，有    =  = = − + − + − = −  − − − = 0 0 2 1 2 2 1 ) 2 ( 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ) n n n n z z z z z z f z