第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-1复习:微分方程基本概念及可积类型 6-1-1基本概念 6-1-2一阶可积类型 6-1-4高阶可降阶类型 第二十一讲微分方程复习 6-1-1基本概念 (一)关于方程: 什么是微分方程?包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation) 微分方程分类: 按自变量多少分:常微分方程和偏微分方程:线性非线性方程 按微分方程的阶( order)数分 n阶常微分方程的一般形式为 dy d y d-y f(x, y, dx 线性与非线性方程 n阶线性常微分方程的一般形式为 "+an()2++a(x)4+a1()y=(x) 其中a(x)(=01,n-1,f(x)是已知函数 (二)关于方程的解: 解的概念 满足微分方程的函数,称为该方程的解 通解一般解与初值问题 对阶微分方程,包含了n个任常数的解y=f(x,C2C,,cn) 称为微分方程的通解( general solution) 对于n阶微分方程(1.9)—(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加n个初始值条件,即 y=f(,y, dy d' y(xo)=yo, y(xo=yo,, y(-(ro)=yo- 这样的定解条件称为初值条件( initial condition) 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy问题 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 f(x,y,y)=0 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-1 复习：微分方程基本概念及可积类型 6-1-1 基本概念 6-1-2 一阶可积类型 6-1-4 高阶可降阶类型 第二十一讲 微分方程复习 6-1-1 基本概念 (一) 关于方程： ⚫ 什么是微分方程？包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation). ⚫ 微分方程分类： 按自变量多少分：常微分方程和偏微分方程；线性非线性方程 按微分方程的阶(order)数分: n 阶常微分方程的一般形式为 ( ) ( , , , ,..., ) 1 1 2 2 − − = n n n dx d y dx d y dx dy y f x y 线性与非线性方程 n 阶线性常微分方程的一般形式为 ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n + + + + = − − − 其中 a (x), (i 0,1,...,n 1), f (x) i = − 是已知函数. (二) 关于方程的解： ⚫ 解的概念: 满足微分方程的函数，称为该方程的 解。 ⚫ 通解一般解与初值问题 对 n 阶微分方程, 包含了 n 个任常数的解 y = f (x,c1 ,c2 ,...,cn) 称为微分方程的通解(general solution). 对于 n 阶微分方程(1.9)--(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加 n 个初始值条件, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      =  =  = = = − − − − 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 , , , ( , , ,..., ) 0 n n n n n y x y y x y y x y dx d y dx dy y f x y  这样的定解条件称为初值条件(initial condition), 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy 问题. 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 y  = f (x, y, y ) = 0