第六章常微分方程 附加条件 Ma=yi, yb)=y2 称为边值条件( boundary condition) 满足微分方程,并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution) 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理:对一阶初值问题:女=(xy),若二元函数 y(ro)=y ∫(x,y)在矩形D={(x,y)x-xKAy-yKB}连续 且偏导数(xy存在并有界则存在正数,使得上述初值问题 在区间[x0-h,x+h上存在有唯一的解 证明思路:{(=(6)-m)设(= 构造达代叙列:yn(x)=/(x,y2(x)x,n=01…则 lyn,(x)-y,(x<1(x, n (x)-f(x,,n-(x)d jv, (x)-ym-1(x)dxr ≤B|x J 其中:|-川1=Max(x)-v(x),B=Max af(,y) xy)∈D0 6-1-2一阶可积类型 (一)分高变量型形如 f(x)g() 或者 u(x)dx=v(y)d 例1:解方程x1+y2+y√1+x2=0 解:将方程化为 0 积分得到通解√1+y+√1+x2=c(c>2) 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 附加条件 1 2 y(a) = y , y(b) = y . 称为边值条件( boundary condition). 满足微分方程, 并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution). ⚫ 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理: 对一阶初值问题:     = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy , 若二元函数 f (x, y) 在矩形 : {( , ) :| | ,| | } D = x y x − x0  A y − y0  B 连续, 且偏导数 ( ) y f x y   , 存在并有界. 则存在正数 h, 使得上述初值问题 在区间 [x0 −h, x0 +h] 上存在有唯一的解. 证明思路:     = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy ( ) ( )   = x x y x f x y x dx 0 , ( ) .设 0 0 y (x) = y , 构造迭代叙列： ( ) ( , ( )) , 0,1, 0 1 = = +  y x f x y x dx n x x n n . 则 ( ) ( ) ( ) + −   − − x x yn x yn x f x yn x f x yn x dx 0 ( ) , ( ) , ( ) 1 1 ( ) (y y )dx B y x y (x)dx y f x x x n n x x  n − n−   − −   = 0 0 1 1 ( ) , +1 0 − −1  −  −  n n n n y y B x x y y 其中： u v Max u(x) v(x) x I − = −  , y f x y B Max x y D   =  ( , ) ( , ) 6-1-2 一阶可积类型 (一) 分离变量型 形如 dy dx = f (x)g( y) 或者 u(x)dx = v( y)dy 例 1: 解方程 1 1 0 2 2 x + y + yy  + x = . 解: 将方程化为 xdx x ydx 1 1 y 0 2 2 + + + = 积分得到通解 1 1 2 2 2 + y + + x = c(c  )