第六章常微分方程 (二)可化为可分高变量型的方程 零齐方程:=82),利用代换n=2,可以将这类方程化为 变量分离方程 例2:求此曲线y=y(x),使其上每点M(x,y)的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角 解:d 令=y,代入方程 l+n'sV1+u2-1d√1+u u2 dx √x2+y2=x+c→y2=2cx+c2 这是抛物线 a,x+ y+C ,先作变量 将其变成关于 a,x+b,y+c2 v=y-Vo n的零齐方程,如=4+ a,u+b,v y'=∫(ax+b),令=ax+by,y l-ax y=f(ax+by)=(u-a)=f(u) →l=b(l)+a (三)一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 d +p(x)y=q(x) 凑导数法+以(x)y=q(x),方程两边乘函数cmM, d y(x)·e =g(x)2/k y(x)=C 「q(x dy I 例3:解方程+xy-x 解: x,对方两边同乘x,得:xy+y=sinx (xy) sIn x 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (二) 可化为可分离变量型的方程 ⚫ 零齐方程: dy dx g y x = ( ), 利用代换 u y x = , 可以将这类方程化为 变量分离方程. 例 2: 求此曲线 y = y(x),使其上每点 M (x, y) 的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角。 解: y x y x y dx dy + − =  = 2 2 . 令 x y u = , 代入方程 u u u xu 1 1 2 + − +  = ; x dx u d u = − + + 2 2 1 1 1  x + y = x + c 2 2  2 2 y = 2cx + c 这是抛物线。 ⚫         + + + +  = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c y f , 先作变量    = − = − 0 0 v y y u x x 将其变成关于 u,v 的零齐方程,         + + = a u b v a u b v f dv du 2 2 1 1 ⚫ y  = f (ax + by) , 令 u = ax + by , b u ax y − = , y  = f (ax + by)  (u a) f (u) b  − = 1  u  = bf (u)+ a (三) 一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 dy dx + p(x) y = q(x) 凑导数法 dy dx + p(x) y = q(x) ，方程两边乘函数 ( )  p x dx e , ( ) ( ) ( )  =          p x dx p x dx y x e q(x)e ( ) ( ) ( ) y x Ce e q x e dx p x dx p x dx p x dx    +  = − − ( ) ( ) 例 3:解方程 dy dx x y x x + = 1 sin . 解: e x dx x =  1 , 对方两边同乘 x ,得: x y  + y = sin x (x y) = sin x 